3Dの点データから円柱をフィットして求めたい(最小二乗近似など)のですが、良い方法が見当たりません。
どなたか教えて下さい。
適当な参考書やURLをご存知ならば
合わせて教えて頂けるとありがたいです。

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A 回答 (3件)

思いっきり非線形ですねえ。


3次元空間で
  z軸を中心軸とする半径rの円筒を(自由度1)
  平行移動し(自由度2) --- z軸方向の移動は無意味なので1自由度減るから
  回転し(自由度2)   --- 円筒の自転は無意味なので1自由度減るから
たものということですから、まっとうに行けば、5つの自由度(パラメータ)を決定する必要があります。r^2を線形最小二乗で決めるとしても、なお4次元空間の探索が必要です。それは最小二乗法の教科書を見ていただくことにして(「最小二乗法による実験データ解析」は名著です)、
正攻法の嫌いなstomachmanとしては、この問題を2次元空間の非線形探索に帰着します。

[1]仮に点列の回転(自由度2)ができ、この状態で点列
(Xn,Yn,Zn) (n=1,2,....,N) は
(Xn-Xc)^2 + (Yn-Yc)^2 = r^2 + εn ... (1)
という状態になったとする。(つまり、円筒の中心線がちょうどZ軸と平行になっている訳です。)r^2が円筒の半径(の二乗)の自由度、Xc,Ycが平行移動の自由度で、εnは誤差です。

[2]普通のやり方だとXc, Yc,r^2を決める手続きは非線形ですが、「誤差を小さくできるようなXc,Yc,r^2が存在する」と仮定すると、線形の問題に変換できる。すなわち誤差=0とおいた(1)式を整理すると
(2Xn)Xc+(2Yn)Yc +(r^2-Xc^2-Yc^2) = (Xn^2 +Yn^2)
ここで
Xn,YnおよびWn=(Xn^2 +Yn^2)は与えられたデータである。
Xc,Yc,およびK = (r^2-Xc^2-Yc^2)が未知数である。
これで線形最小二乗法の問題になりましたので、一発で解けます。すなわち、行列で書くと
A p = q
ここに既知のN行3列の行列AのA[n,m] (n行m列成分)はA[n,1] = 2Xn, A[n,2]=2Yn, A[n,3] = 1
未知の3次元縦ベクトルpのp[k](k行成分)は p[1]=Xc, p[2]=Yc, p[3]=K
また既知のn次元縦ベクトルqのq[n](n行成分)は q[n]=Xn^2 +Yn^2
計算速度や精度をあんまり気にしないでこれを解くと
p=(A' A)~ A' q
ここに A'はAの転置行列、(A' A)~は(A' A)の逆行列です。(この計算はExcelでも出来ますよ。関数minverse, mmult, transposeを使います。)
Xc,Yc,Kからr^2を出すのは簡単ですね。(知りたいのはrではなくr^2)

[3]さて、こうして決めたXc,Yc,r^2を使って、(1)式の誤差の二乗和を計算します。
S = |ε1|^2 + |ε2|^2 + ..... +|εn|^2
もし[1]で行った回転が旨くいっていれば、Sは非常に小さくなるし、さもなければSは巨大になる。
だから、Sが最小になるような回転を探せば良いのです。

[4]さて、回転です。
元の点列 (xn,yn,zn) (n=1,2,....,N)を3行N列の行列P
P[1,n]=xn, P[2,n]=yn, P[3,n]=zn
で表したとき、回転された点列は(Zは不要なので)2行N列の行列Q
Q[1,n] = Xn, Q[2,n] = Yn
で表されます。
x軸まわりの回転を行列 Rx=
1 0 0
0 Cx -Sx
0 Sx Cx
によって行い、引き続きy軸まわりの回転、およびZ成分の削除を行列 Ry=
Cy 0 -Sy
0 1 0
でやるとすると
Q = Ry Rx P
つまり(Ry Rx) =
Cy -SxSy -CxSy
0  Cx   -Sx
ですね。ただし
Cx = cos(α), Sx= sin(α)
Cy = cos(β), Sy=sin(β)
ですから2個のパラメータα、βがある。この2つの数値をいろいろ変えて、Sを小さくするものを探索することになります。高速にやるため、あるいは安定化するためのいろんなテクニックが知られていますが、教科書を読んで貰うとして、ここでは手抜きしましょう。
[step1] (α,β)をとにかく決めて、Sを出してみる。これをS0とする。
[step2] Δα,Δβを適当な小さい値とする。
[step3] (α+Δα,β)でSを出してみる。
S0より大きくなったら、Δαの符号を逆にして、Sを出してみる。
それでダメならΔαを半分にしてやりなおす。
それでダメならΔαをさらに半分にして.....
とにかくS0より小さいSが出るまでやる。これをS1とする。この時のΔαを憶えておく。
今度は(α+Δα,β+Δβ)でSを出してみる。
S1より大きくなったら符号を変え、それでダメならΔβを半分にしてやりなおす。...
とにかくS1より小さいSが出るまでやる。この時のΔβを憶えておく。
これで、初めの(α,β)よりも良い(α+Δα, β+Δβ)が出た。
[step4] step3で最終的に得たΔα, Δβの3倍をΔα, Δβの値とする。そしてstep3へ。
(半分とか3倍とか、はまあ、いい加減な値で良いんです。)

[5]出発値の選び方
(α,β)=(0,0)とか90度とか、あんまりチョッキリの値はやめましょう。特異姿勢というのに嵌ってしまうおそれがある。
CG用レンダリングソフトでも使って、だいたいの値が分かる、というのでもよい。
また、たとえば点が円筒上に概ね一様に散らばっているというのなら、だいたいの向きを主因子法で決められます。(P P')をスペクトル分解し、固有値と固有ベクトルを求めます。円筒の半径に比べて(点の存在する範囲の)長さが長い、ということが分かっているなら、最大の固有値に対応する固有ベクトルの向きが円筒の向きの近似値です。逆に円筒の長さは明らかに短いというのなら、一番小さい固有値の固有ベクトルを取ればよい。

●円筒のフィッティングを1回やるだけなのか、大量のPが与えられて、次々自動的に円筒を決めていく必要があるのか、それによっても、計算法の根性の入れどころが変わってきます。がんばって-
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この回答へのお礼

非常に丁寧な解説ありがとうございます。
たすかります。
ゆっくり考えてみます。

お礼日時:2000/12/15 18:49

(1)どんな円柱が来るのか分からないのか


(2)円柱の軸の向き(3次元的方向)があらかじめ分かっているか
(3) (2)に加えて円柱の軸の位置がわかっているか(つまり円柱の半径だけ分かれば良いのか)

によってしんどさが随分違います。この区分を補足していただけませんか?

この回答への補足

点群のデータのみです。
つまり点群データに直に円柱をフィットさせたいのです。

補足日時:2000/12/15 10:41
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一般化ハフ変換か,超2次曲面の当てはめをしてはいかがでしょうか.どのような最適化手法を使うかが工夫のしどころになります.

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Q円柱と球面の囲まれる部分の体積曲面積を求める問題で

円柱S1:x^2+y^2=axと球面S2:x^2+y^2+z^2=a^2,a>0を考える。
(1)S1とS2によって囲まれる部分の体積を求めよ。
(2)球面S2が円柱S1によって切り取られる部分の曲面積を求めよ。
という問題がわかりません。 解説を加えてもらえると幸いです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

円柱S1:x^2+y^2=ax ...(A)
球面S2:x^2+y^2+z^2=a^2 ...(B)

x=rcosφ,y=rsinφ,z=zとおいて円筒(円柱)座標に変換する。
円柱S1:r=acosφ(-π/2≦φ≦π/2) ...(A')
球面S2:r^2+z^2=a^2(0≦r≦a) ...(B')

(1)
V=∫∫∫{x^2+y^2+z^2≦a^2,x^2+y^2≦ax} dxdydz
=∫∫∫{r^2+z^2≦a^2,0≦r≦acosφ,-π/2≦φ≦π/2} rdrdφdz
=4∫∫∫{0≦z≦√(a^2-r^2),0≦r≦acosφ,0≦φ≦π/2} rdrdφdz
=4∫[φ:0→π/2} dφ∫[r:0→acosφ]rdr∫[z:0→√(a^2-r^2)dz
=4∫[φ:0→π/2} dφ∫[r:0→acosφ]r√(a^2-r^2)dr
=4∫[φ:0→π/2} dφ[-(1/3)(a^2-r^2)^(3/2)][r:0→acosφ]
=4∫[0→π/2} (1/3)[a^3-a^3*(sinφ)^3]dφ
=(4/3)a^3∫[0→π/2}{1-(sinφ)^3]dφ
=(4/3)(π/2)a^3-(1/3)a^3∫[0→π/2}4(sinφ)^3 dφ
=(4/3)(π/2)a^3-(1/3)a^3∫[0→π/2} {3sinφ-sin(3φ)}dφ
=(2/3)πa^3-(1/3)(a^3)[-3cosφ+(1/3)cos(3φ)][0→π/2}
=(2/3)πa^3-(1/3)(a^3){3-(1/3)}
=(2/3)πa^3-(8/9)a^3
=2(3π-4)(a^3)/9

(2)
球面S2が円柱S1によって切り取られる部分の曲面積は対称性から
z=f(x.y),D={(x,y)|x^2+y^2≦ax,x^2+y^2+z^2≦a^2,0≦z}とおくと
S=2∫∫{D} √{1+(fx)^2+(fy)^2}dxdy
=2∫∫{D} √{1+(fr)^2+(fφ/r)^2}rdrdφ
z=f(r,φ)=√(a^2-r^2)
fr=∂f/∂r=-r/√(a^2-r^2),fφ=∂f/∂φ=0
D→E={(r,φ)|0≦r≦acosφ,-π/2≦φ≦π/2}
E→E2={(r,φ)|0≦r≦acosφ,0≦φ≦π/2}
なので
S=2∫∫{E} √{1+(fr)^2} rdrdφ
=2∫∫{E} r√{1+r^2/(a^2-r^2)} drdφ
=2a∫∫{E} r/√(a^2-r^2) drdφ
=4a∫∫{E2} r/√(a^2-r^2) drdφ
=4a∫[φ:0→π/2] dφ∫[r:0→acosφ] r/√(a^2-r^2) dr
=4a∫[φ:0→π/2] dφ[-√(a^2-r^2)][r:0→acosφ]
=4a∫[0→π/2] (a-asinφ)dφ
=4a^2∫[0→π/2] (1-sinφ)dφ
=4(a^2)[φ+cosφ][0→π/2]
=4(a^2){(π/2)-1}
=2(π-2)(a^2)

円柱S1:x^2+y^2=ax ...(A)
球面S2:x^2+y^2+z^2=a^2 ...(B)

x=rcosφ,y=rsinφ,z=zとおいて円筒(円柱)座標に変換する。
円柱S1:r=acosφ(-π/2≦φ≦π/2) ...(A')
球面S2:r^2+z^2=a^2(0≦r≦a) ...(B')

(1)
V=∫∫∫{x^2+y^2+z^2≦a^2,x^2+y^2≦ax} dxdydz
=∫∫∫{r^2+z^2≦a^2,0≦r≦acosφ,-π/2≦φ≦π/2} rdrdφdz
=4∫∫∫{0≦z≦√(a^2-r^2),0≦r≦acosφ,0≦φ≦π/2} rdrdφdz
=4∫[φ:0→π/2} dφ∫[r:0→acosφ]rdr∫[z:0→√(a^2-r^2)dz
=4∫[φ:0→π/2} dφ∫[r:0→acosφ]r√(a^2-r^2)dr
=4∫[φ:0→π/2} dφ[-(1/3)(a^2-r^2)^(3/2)][r:0→acosφ]
=4∫[0→π/2...続きを読む

Q数学 計算(x二乗+xy+y二乗)(x二乗−xy+y二乗)(x4乗−x二乗y二乗+y4乗)↑

数学 計算
(x二乗+xy+y二乗)(x二乗−xy+y二乗)
(x4乗−x二乗y二乗+y4乗)

↑見づらくてすみませんT_T
途中の計算式、説明含めて教えて下さい。
来週、期末テストで助けで下さい…

Aベストアンサー

(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)(x^2+y^2=A)
前の二項で、x^2+y^2=Aと考えると (A+xy)(A-xy) となり、 A^2-x^2y^2 
Aに (x^2+y^2)を代入して計算すると  x^4+x^2y^2+y^4  なります
x^4+y^4=B と考えると 与式は   (B+x^2y^2)(B-x^2y^2)

B^2-x^4y^4   Bに x^4+y^4 を代入すると (x^4+y^4)^2-x^4y^4

計算して、 x^8+2x^4y^4+y^8-x^4y^4=x^8+x^4y^4+y^8 

参考までに。

Q円柱の容量(L)を教えてください。

円柱の容量(L)を教えてください。

(1)底の面積が500mm、高さ339.5mmの円柱の容量(L)を教えてください。
また、底の面積が570mmに拡大された場合、上記と同容量にするには
高さは何mmになりますか?

(2)底の面積が520mm、高さ339.5mmの円柱の容量(L)を教えてください。
また、底の面積が570mmに拡大された場合、上記と同容量にするには
高さは何mmになりますか?

計算式もよろしくお願いします。

Aベストアンサー

円柱の体積は
底面積*高さ
で、底面積は
半径*半径*円周率
で与えられます。従って(1)の場合(底の面積が500mmとありますが、これは底面の直径では?)、
250*250*3.14*339.5
で体積(mm3)が求められます。底面の直径が500→570ということは底面積が1.14*1.14倍に
なったということですから、高さを339.5/1.14/1.14 とすれば同じ体積になります。

(2)もやり方は同じです。

Qa(b二乗−c二乗)+b(c二乗−a二乗)+c(a二乗−b二乗) の、因数分解を教えてください

a(b二乗−c二乗)+b(c二乗−a二乗)+c(a二乗−b二乗)
の、因数分解を教えてください

Aベストアンサー

因数分解せよ。ということは暗に「因数分解できる」と言っている。
★折角、web標準のUTF-8の掲示板なので、・・

a(b² - c²) + b(c² - a²) + c(a² - b²)

とかける。
 とりあえず展開して、文字順次数順に整理しておく。
 = ab² - ac² + bc² - a²b + a²c - b²c
 = - a²b + a²c + ab² - ac² + bc² - b²c
 = (c - b)a² + a(b² - c²) + bc² - b²c 後で役立つ

は簡単な因数で割れるはず。
a = b とすると
a(b² - c²) + b(c² - a²) + c(a² - b²)
= a(a² - c²) + a(c² - a²) + c(a² - a²)
= a³ - ac² + ac² - a³ + a²c - a²c
= a³ - a³ - ac² + ac² + a²c - a²c
  ̄ ̄ ̄=0  ̄ ̄ ̄=0  ̄ ̄ ̄=0
= 0
 よって、(a - b)は因数
同様に、
b = c とすると
a(b² - b²) + b(b² - a²) + b(a² - b²)
  ̄ ̄ ̄=0  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄=0
= 0
 よって、(b - c)も因数
同様に
a=c
a(b² - c²) + b(c² - a²) + c(a² - b²)
= a(b² - a²) + b(a² - a²) + a(a² - b²)
= ab² - a³ + a²b - a²b + a³ - ab²
= ab² - ab² + a³ - a³ + a²b - a²b
= 0
 よって、(a - c)も因数
わかっている因数をすべて掛け合わせると
(a - b)(b - c)(a - c)
展開すると、
 = (ab - ac - b² + bc)(a - c)
 = a²b - abc - a²c + ac² - ab² + b²c + abc - bc²
 = - a²c + a²b + abc - abc + ac² - ab² + b²c - bc²
 = - a²c + a²b + ac² - ab² + b²c - bc²
 = (b - c)a² + (c² - b²)a + b²c - bc² (1)
これは、正負が変わるだけで
先の
 (c - b)a² + a(b² - c²) + bc² - b²c
と同じ
 なのでこれ以上因数はない。あれば、(1)の式で割ればでてくる

因数分解せよ。ということは暗に「因数分解できる」と言っている。
★折角、web標準のUTF-8の掲示板なので、・・

a(b² - c²) + b(c² - a²) + c(a² - b²)

とかける。
 とりあえず展開して、文字順次数順に整理しておく。
 = ab² - ac² + bc² - a²b + a²c - b²c
 = - a²b + a²c + ab² - ac² + bc² - b²c
 = (c - b)a² + a(b² - c²) + bc² - b²c 後で役立つ

は簡単な因数で割れるはず。
a = b とすると
a(b² - c²) + b(c² - a²) + c(a² - b²)
= a(a² - c²) + a(c² - a²) + c(a² - a²)
= a³ - ac² + ac² - a³...続きを読む

Q面積

円柱の面積の求め方 方程式とか、詳しく教えてください。
明日までにやらなくちゃいけない仕事の中になぜかこんな課題が・・・。
誰か助けてー!

Aベストアンサー

 ごめん、面積だったね。
 底面の円の半径(r)、高さ(h)
 底面積(S1)、側面積(S2)、円周率(π)とします。
1)まず、底面積
 (底面積)=(半径)×(半径)×(円周率):円の面積
  文字式で S1=πr^2
  これが 上下2つ
2)側面積
  底面の円周と高さをたてとよこにする長方形です。
 (展開図を考えて下さい)
  (側面積)=(円周)×(高さ)
       =(半径)×2×(円周率)×(高さ)
  文字式で S2=2πrh
3)合計して
  全表面積=2S1+S2
      =2πr^2+2πrh
      =2πr(r+h)
中学1年生程度の解答で失礼。

Qb二乗(sin二乗 + cos二乗) + c二乗.

b二乗(sin二乗A + cos二乗A) + c二乗 - 2bc

= b二乗 + c二乗 - 2bc

この式でなぜ(sin二乗A + cos二乗A)が消えるのかわかりません。
b二乗sin二乗A + b二乗cos二乗A + c二乗 - 2bcにならないのはなぜですか?

Aベストアンサー

sin^2θ+cos^2θ=1
となるからです。

○の二乗は、○^2
○の三乗は、○^3というふうに書くのが一般的です。

dの2乗なら、d^2となります。

Q面積&体積を教えて下さい。

AB=8cm,BC=6cmの長方形ABCDにおいて

(1)AC⊥DEのとき、DEの長さと△ADEの面積を求めよ。

(2)ABを軸として長方形ABCDを回転させてできる円柱の側面積S1と体積V1を求めよ。

(3)BCを軸として△ABCを回転させてできる円錐の側面積S2と体積V2を求めよ。円周率はπとする。


AC10cmから先は進みません~!
回答&解説をよろしくお願いします。
_(._.)_

Aベストアンサー

1)
△ABCと△ADEは相似であるので、底辺、高さ、斜辺の比はどちらも同じ。

△ABCは、高さ8、底辺6の直角三角形なので、三平方の定理より、斜辺ACは10。

△ADEの斜辺は6(辺AD)なので、底辺は6÷10×6=3.6、高さは8÷10×6=4.8。

辺DEは△ADEの高さなので4.8cm。△ADEの面積は底辺×高さ÷2=3.6×4.8÷2=8.64平方cm。

2)
高さ8cm、底面の半径が6cmの円柱になる。

側面の面積S1=半径6cmの円の円周の長さ×高さ8cm

円柱の体積V1=半径6cmの円の面積×高さ8cm

半径rの円周の長さの公式は2πrなので、半径6の円の円周は、2π×6。S1はこれに高さ8をかける。

S1=2π×6×8=92π。

半径rの円の面積の公式はπr2乗なので、半径6の円の面積は、π×6×6.V1はこれに高さ8をかける。

V1=π×6×6×8=228π。

3)
高さ6cm、底面の半径が8cmの円錐になる。

S2は円錐を展開した場合の扇型の面積。

半径r、母線lの円錐の、扇形の面積はπlr。

円錐の母線の長さは辺ACなので10。底面の半径は辺ABなので8。

S2=π×8×10=80π。

V2は円錐の体積。

半径rの円が底面、高さhの円錐の体積は、1/3×πr2乗h。

高さは辺BCなので6。底面の半径は辺ABなので8。

V2=π×8×8×6÷3=128π。

1)
△ABCと△ADEは相似であるので、底辺、高さ、斜辺の比はどちらも同じ。

△ABCは、高さ8、底辺6の直角三角形なので、三平方の定理より、斜辺ACは10。

△ADEの斜辺は6(辺AD)なので、底辺は6÷10×6=3.6、高さは8÷10×6=4.8。

辺DEは△ADEの高さなので4.8cm。△ADEの面積は底辺×高さ÷2=3.6×4.8÷2=8.64平方cm。

2)
高さ8cm、底面の半径が6cmの円柱になる。

側面の面積S1=半径6cmの円の円周の長さ×高さ8cm

円柱の体積V1=半径6cmの円の面積×高さ8cm

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Q数学 計算式教えて下さい!(a+b+c)二乗−(b+c−a)二乗+(c+a−b)二乗−(a+b−

数学 計算式教えて下さい!
(a+b+c)二乗−(b+c−a)二乗+(c+a−b)二乗
−(a+b−c)二乗

途中の計算式、説明をお願いします。
来週、期末テストの為、助けて下さい
m(_ _)m

Aベストアンサー

(a+b+c)^2 -(b+c-a)^2   を  {(b+c)+a}^2 -{(b+c)-a}^2   に変形し平方の差の形にする

同様に (c+a-b)^2 -(a+b-c)^2   を  {(a+b)+z}^2 -{(a+b)-c}^2 にすると

A^2-B^2=(A-B)(A+B)から            注 ^2は2乗を示します。

左の2項が  (b+c+a-b-c+a)(b+c+a+b+c-a) 整理すると 2a(2b+2c)

右の2項が  (a+b+c-a-b+c)(a+b+c+a+b-c) 整理すると 2c(2a+2b)

まとめると 与式=2a(2b+2c)+2c(2a+2b)      整理すると  8(ab+ac)

参考までに。

Qベクトル解析の面積分

ベクトル解析学の面積分でわからないところがあります。
面積分習いたてであまりわからないのですが、
S:円柱面 y^2+z^2=4
0≦x≦1
z≧0
のとき、次の面積分を求めよ。
∫_[S](xi+yj+zk)・dS

この問題なのですが、
z^2=4-y^2≧0
y^2≧4
-2≦y≦2
くらいまで少し考えてみたのですが、すぐに行き詰まってしまいました。
この後はどうすればいいのでしょうか。
今まではこの後に
z=f(x,y)
とかになり、fxやfyを出せたのですぐにできたのですが、zがxで表現できないので…
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

問題の図形は半円柱 (カマボコ型) ですが,
積分する範囲は円柱の側面 (曲面部分) だけでいいのでしょうか,
それともカマボコ型の表面全体でしょうか?
一応各部分に分けて計算します.

円柱座標を使って y = r * cosθ,z = r * sinθ とします.

■半円柱の側面 (曲面部分)

・外向きの法線ベクトル:(0, y,z)=(0, r * cosθ, r * sinθ).
これを正規化すると単位法線ベクトルnは (0, cosθ,sinθ).

・微小面積 |dS| = r * dθ * dx.

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
= (x, r * cosθ, r * sinθ)・(0, cosθ, sinθ) * |dS|
= (r * (cosθ)^2 + r * (sinθ)^2) * r * dθ * dx
= r^2 * dθ * dx.

これを 0≦θ≦π,0≦x≦1 の範囲で積分すると,円柱側面での面積分は,
I1 = r^2 * π * 1 = πr^2.


■円柱の底面 (x=1)

・外向きの単位法線ベクトル:n=(1,0,0).

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
= (x, y, z)・(1, 0, 0) * |dS|
= x * |dS|
= |dS|.

これを円柱の底面にわたって積分すると,底面積そのものなので,
I2 = πr^2 / 2.


■円柱の底面 (x=0)

・外向きの単位法線ベクトル:n=(-1,0,0).

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
= (x, y, z)・(-1, 0, 0) * |dS|
= -x * |dS|
= 0.

∴ I3 = 0.


■カマボコの底面 (z=0)

・外向きの単位法線ベクトル:n=(0,0,-1).

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・(0, 0, -1) * |dS|
= -z * |dS|
= 0.

∴ I4 = 0.

したがって全体の面積分は I1+I2+I3+I4 = (3/2)πr^2 = 6π.

答え合ってますか?

問題の図形は半円柱 (カマボコ型) ですが,
積分する範囲は円柱の側面 (曲面部分) だけでいいのでしょうか,
それともカマボコ型の表面全体でしょうか?
一応各部分に分けて計算します.

円柱座標を使って y = r * cosθ,z = r * sinθ とします.

■半円柱の側面 (曲面部分)

・外向きの法線ベクトル:(0, y,z)=(0, r * cosθ, r * sinθ).
これを正規化すると単位法線ベクトルnは (0, cosθ,sinθ).

・微小面積 |dS| = r * dθ * dx.

∴ (x, y, z)・dS
= (x, y, z)・n * |dS|
= (x, r...続きを読む

Q最小二乗多項式

点列(0,-5),(1,2),(2,0),(3,3)を通る1次の最小二乗多項式を求めたいです。
解法、解答、お願いします。

Aベストアンサー

>点列(0,-5),(1,2),(2,0),(3,3)を通る1次の最小二乗多項式を求めたいです。

「4つの点を通る一次式」と有りますがそのような一次の多項式は有りません。

4つの点(xi,yi),(i=1,2,3,4)から最小二乗法を用いての一次の近似式 y=ax+b を求めることはできます。

最小二乗法の適用するための二乗誤差の式Lは他の方も書いて見えますし、ネット上にも沢山ありますから詳細は省略して
結果だけ書きますと
L = Σ[i=1,4] (yi-axi-b)^2 = 14a^2 +12ab +4b^2 -22a -20b +38
となるのでこの二乗誤差Lを最小にするa,bを求めれば良いでしょう。

二乗誤差Lを最小にせる方法は色々ありますが、中高生でもできる二乗和を作る方法で考えて見ます。
L = (3a+2b-5)^2 + 5(a+4/5)^2 + 49/5

Lは 「3a+2b-5=0 かつ a+4/5=0」 つまり 「a=-4/5, b=37/10」のとき
最小値「49/5」(最小二乗誤差)をとることが分かるでしょう。

このときの a,b を 近似直線の式 y=ax+b に代入すれば 求める最小二乗法による
一次の近似式が得られます。

ご自分で、計算をやって確認してみてください。

>点列(0,-5),(1,2),(2,0),(3,3)を通る1次の最小二乗多項式を求めたいです。

「4つの点を通る一次式」と有りますがそのような一次の多項式は有りません。

4つの点(xi,yi),(i=1,2,3,4)から最小二乗法を用いての一次の近似式 y=ax+b を求めることはできます。

最小二乗法の適用するための二乗誤差の式Lは他の方も書いて見えますし、ネット上にも沢山ありますから詳細は省略して
結果だけ書きますと
L = Σ[i=1,4] (yi-axi-b)^2 = 14a^2 +12ab +4b^2 -22a -20b +38
となるのでこの二乗誤差Lを最小にするa,bを求めれ...続きを読む


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