ベキ級数の逆関数

やや畑違いかと思うのですが、天文学の本に載っていた計算の過程で、ベキ級数の逆関数を導出するものがありました。そのまま抜粋すると、

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α＝x*{1-(1/3)x+(1/3)x^2+(1/81)x^3+・・・} (1)

となり、xをαで表現すると、

x＝α*{1+(1/3)α-(1/9)α^2-(31/81)α^3+・・・}　　 (2)

である。
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xもαも変数です。
(1)はxの無限ベキ級数、(2)はその逆関数だと思われるのですが、
計算過程とばして2行目だけで説明しきれるほど
もしかしたら簡単な方法があるのかもしれませんが
いまのところ思いつきません。

一つの方法として考えたのは、以下のようなものです。

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(1)から
x=α+(1/3)x^2-(1/3)x^3-(1/81)x^4+・・・
xが右辺のように表されるので、そのまま逐次的に代入させる。
x=
α+(1/3)*{α+(1/3)x^2-(1/3)x^3-(1/81)x^4+・・・}^2
-(1/3)*{α+(1/3)x^2-(1/3)x^3-(1/81)x^4+・・・}^3
-(1/81)*{α+(1/3)x^2-(1/3)x^3-(1/81)x^4+・・・}^4
+・・・
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この方法だとプログラムを書いて計算させるならすぐにできるのですが、手計算だと手間がかかりすぎるので・・・。
できるだけ手計算でできる範囲の簡単な計算法を教えていただけたら幸いです。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2006/03/01 16:31

相手は「天文学の本」だからなぁ....

面倒な計算は省いて結果だけ使ってる可能性はあるんじゃないかな?

この回答への補足

すみません。
同じ本のずっと前のページにこれを求める公式が書いてありました。Lagrangeの展開とかって名前らしいです。
お騒がせしました。

補足日時：2006/03/03 01:04