ローパスフィルターについて初歩的な質問

Question

ローパスフィルターでの抵抗の役割について質問です。

=Ｒ============
　　　　　 |
　　　　　Ｃ
　　　　　 |
===============

という回路で

１）抵抗が回路の上段にしかないのはなぜか？交流を扱うなら上下段両方に必要では？

２）そもそも抵抗の役割は何か（抵抗なしでこの回路を組んだ場合どうなるのか）？　文献を読んだところ「電流の流れを遅くすることでローパスフィルターになる」と書いてあったのですがなぜ電流が流れにくくなるとなぜローパスフィルターになるのかがわかりません。

教授ください。

thyristor · Accepted Answer

No.5の補足です。

抵抗がないとローパスフィルタにならない、と書きましたが、これは無負荷時の出力電圧についてで、カットしたい周波数成分に対し、コンデンサのインピーダンス　＜＜　負荷のインピーダンス　という条件が成り立てば、抵抗が無くてもローパスフィルタになります。

thyristor · Answer

1)については既に解答されていますので、2)だけ。

抵抗がないと入力電圧＝出力電圧となりますから、ローパスフィルタになりません。しかし、実際に回路を製作する上ではコンデンサだけでもローパスフィルタになります。（導線にも抵抗が存在しますからね）

jameskun · Answer

＿＿
　　　 ｜
　　　 Ｒ
　　　 ｜＿＿＿＿
　　　 ｜
　　　 Ｃ
　　＿_｜＿＿＿＿

件の回路をこのようにしたら、わかり易いでしょう。
これはよくある『抵抗分圧回路』と同じです。違いは下側がＲでなくＣになってるだけです。
この場合、Ｃを『周波数によって変化する抵抗』と考えれば、何故ローパスフィルターになるかがわかるはずです。

sanori · Answer

２本の配線のうち、下の方の配線は、ＧＮＤ＝０Ｖと固定して考えます。
（別に０Ｖでなくても、固定ならば何でも良いですが）

そして、簡単のために、ＯＵＴを宙ぶらりん（オープン）にします。


ＩＮ→=Ｒ============宙ぶらりん
　　　　　　　　 |
　　　　　　　　Ｃ
　　　　　　　　 |
ＧＮＤ===============


ＩＮに、方形波の立ち上がり（０Ｖ→Ｖｉｎ）が入力されたとしましょう。
（宙ぶらりんのところの初期値は０Ｖです。）

すると、宙ぶらりんのところがＶｉｎに等しくなるまでの間、ＩＮＰＵＴからの電流はキャパシタＣを充電しなくてはいけません。

式を立てます。
・宙ぶらりんのところの電圧をＶｏｕｔ
・Ｒに流れる電流をｉ

と置きます

Ｖｉｎ　－　Ｖｏｕｔ　＝　Ｒ・ｉ

Ｃ・（Ｖｏｕｔ － ０）＝　Ｃ・Ｖｏｕｔ ＝　電荷

ところが、
Ｃに貯まる電荷の時間変化は、電流ｉに等しいので

ｄ／ｄｔ　Ｃ・Ｖｏｕｔ ＝　ｉ

これを上の式に代入すると

Ｖｉｎ　－　Ｖｏｕｔ　＝　ＲＣ・ｄ／ｄｔ Ｖｏｕｔ

ここで
Ｖ　＝　Ｖｉｎ　－　Ｖｏｕｔ
と置く。

Ｖｉｎは定数なので、
ｄ／ｄｔ Ｖｏｕｔ　＝　ｄ／ｄｔ（Ｖｏｕｔ－Ｖｉｎ）
　　　＝　－　ｄ／ｄｔ（Ｖｉｎ　－　Ｖｏｕｔ）
　　　＝　ｄＶ／ｄｔ
とすることが出来る。
よって
Ｖ　＝　－ＲＣ・ｄＶ／ｄｔ
ｄＶ／Ｖ　＝　－１／（ＲＣ）・ｄｔ
積分すると
ｌｎＶ　＝　－ｔ／（ＲＣ）　＋　定数その１
よって
Ｖ　＝　ｅ^（－ｔ／ＲＣ）×定数その２

ところが、方形波がｔ＝０で立ち上がったとき、Ｖｏｕｔは０Ｖとして考えていたので、
Ｖ（ｔ＝０）　＝　Ｖｉｎ
でなくてはならない。
したがって
Ｖ　＝　ｅ^（－ｔ／ＲＣ）×Ｖｉｎ
となる。
Ｖ　を元に戻して　Ｖｉｎ　－　Ｖｏｕｔ　とすれば
Ｖｉｎ　－　Ｖｏｕｔ　＝　ｅ^（－ｔ／ＲＣ）×Ｖｉｎ

１ － Ｖｉｎ／Ｖｏｕｔ　＝　ｅ^（－ｔ／ＲＣ）
　　　　　　＝　だいたい　１÷（２．７のｔ／ＲＣ乗）
いっちょあがり。

-------------------

１ － Ｖｉｎ／Ｖｏｕｔ　＝　だいたい　１÷（２．７のｔ／ＲＣ乗）

この計算結果が何を意味しているかというと、

時間がＲＣ秒進む毎に、
１００％充電（左辺＝１）に対する残りが２．７分の１倍されていくことを示しています。
つまり、
ＲとＣの値の積が大きいほど、ＶｉｎからＶｏｕｔへ早く信号が伝わり、
ＲとＣの値の積が小さいほど、ＶｉｎからＶｏｕｔへ遅く信号が伝わる、
ということです。

これ以降は、感覚的にとらえてください。

Ｖｉｎの立ち上がりが緩慢でも、Ｖｏｕｔの立ち上がりも緩慢なので、
ＶｏｕｔはＶｉｎの信号を、そのまま伝えていることになります。

一方、Ｖｉｎの立ち上がりが急峻なときも、Ｖｏｕｔの立ち上がりは緩慢なので、
ＶｏｕｔはＶｉｎの信号を、そのまま伝えていることにはなりません。

そして、ＣとＲの積がさらに大きくなると、あまり急峻でないＶｉｎ信号でさえ、Ｖｏｕｔに伝わりにくくなります。

そして、Ｖｉｎの信号が立ち上がり、立ち下がりを繰り返す場合、
周波数が高いと、ＶｉｎのパルスがＶｏｕｔに十分伝わる前に、Ｖｉｎの、次のパルスが始まってしまいます。

つまり、「周波数の高い成分は通過できず、周波数の低い成分は通過する」ことと全く同じ意味になります。


【結論】
ＲとＣの積が大きいほど、低い周波数成分だけが通過するようになる

ご存知かもしれませんが、
τ＝ＲＣ　を「時定数」と呼びます。

（τはギリシャ文字「タウ」・・・ｔやＴを使うと、時間や温度と紛らわしいので、ギリシャ文字を使うことにしたのでしょう。多分。）

otto0001otto · Answer

＃１さん。
なかなかうまい説明ですね。

＞抵抗が回路の上段にしかないのはなぜか？
別に上である必要はありません。
なぜなら、回路を流れる電流はどこでも同じだからです。
上に入れても下に入れても、両方に入れてもおんなじです。

＞そもそも抵抗の役割は何か
電流を定義できる（決める）ということです。

i-q · Answer

コンデンサは交流分を通し、直流分を通しません。信号の周波数が高いほど、コンデンサの方に信号が流れ、低い周波数（直流に近い）信号はコンデンサを通れず抵抗に流れるのです。
　結果、高周波にとってコンデンサはただの導体に近く、抵抗がある回路より抵抗値が低いコンデンサの方を通り。低周波にとってコンデンサは絶縁体に近く、抵抗がある方に流れてゆくのです。

電気について勉強中なので一般人にしました。間違いがあったら誰か補足して下さい(^_^)

ローパスフィルターについて初歩的な質問

No.5の補足です。

1)については既に解答されていますので、2)だけ。

＿＿

２本の配線のうち、下の方の配線は、ＧＮＤ＝０Ｖと固定して考えます。

＃１さん。

コンデンサは交流分を通し、直流分を通しません。

この回答への補足

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　コンデンサは交流分を通し、直流分を通しません。