問題
X,Y:標準正規分布N(0,1)を分布にもつ独立な実確率変数とします
このときZ=X/Yの分布は1/π(1+x^2)を密度関数に持つことを示せ

というものなんですが、
これはいわゆるCauchy分布です
Zの分布関数を地道に計算すればいいんですが、
どうもうまくできません。
計算の経過も丁寧に解説してくれる人がいたらどうかお願いします

ただ、公式を適用するとかいうのはなしでお願いします

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A 回答 (5件)

 なんだか難しい話をなさってますが、単なる変数変換の問題でしょう?超関数を使わなくても計算できますし、分布関数を微分する必要もないと思います。


 確率変数X,Yの関数であるZ(X,Y)の確率密度を求めるには、
p(X,Y)dXdY = f(Z,U)dZdU
となるように(X,Y)を(Z,U)に写像してやって、
q(Z)=∫f(Z,U)dU (U=-∞~∞)
を計算すれば良い。それだけです。

dXdY = |(∂X/∂Z)(∂Y/∂U)-(∂X/∂U)(∂Y/∂Z)| dZdU
ですから、
U=Y
とおくと(X,Y)と(Z,U)は1対1の写像であり、
dXdY = |Y|dZdU
従って、
f(Z,U)=|Y|p(X,Y)
であり、
q(Z)=∫|Y|p(X,Y) dY (Y=-∞~∞)
の計算です。
P(X,Y)=φ(X)φ(Y), φ(x)=(1/√(2π)) exp(-x^2/2)
だから、
P(X,Y)=exp(-(X^2+Y^2)/2)/(2π)
よって、
q(Z)=(1/(2π))∫|Y| exp(-(1+Z^2)(Y^2)/2) dY (Y=-∞~∞)
=2(1/(2π))∫Y exp(-(1+Z^2)(Y^2)/2) dY (Y=0~∞)
= 1/(π(Z^2+1))
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この回答へのお礼

どうも細かいところまできちんと書いてくださってありがとうございました
このやり方だと分布関数の微分についての問題も解決されました

どうもありがとうございました

お礼日時:2002/02/08 17:25

G(z)=∫(-∞~∞)dx・∫(-∞~∞)dy・p(x)・p(y)・h(z-x/y)


のように使われているのはどうしてなのですか?
なんか使われる場所が違うように見えてしかたがないのですが・・
もしよろしければ教えてください:

G(z)=∫∫(x/y<z)dxdy・p(x)・p(y)

G(z)=∫∫(all)dxdy・p(x)・p(y)・h(z-x/y)
は同じに見えませんか?
私には同じに見えますけど
z<x/yならばh(z-x/y)=0でありx/y<zならばh(z-x/y)=1であるから問題ないような気がしますが
hは超関数と見なすことはできますが本来超関数とは違う素直な関数ですよ
考えすぎているような気がしますが

どうも高度な質問で私の能力の範囲を超えているので
大御所のmotsuanさんに登場願おうではありませんか?
motsuanさん後お願いします

この回答への補足

どうも話が関係ないとこにいっちゃいそうなので
また違う機会に質問として出したいと思います

いろいろありがとうございました

補足日時:2002/02/08 17:20
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No.3の方法を使えば分布関数を求めずに直接密度関数を求めることができる


ただしδ関数とh関数について多少知っていないといけない

Xの密度関数をp(x)とすればYの密度関数はp(y)であり
Zの分布関数G(z)は
G(z)=∫∫(x/y<z)dxdy・p(x)・p(y)
=∫(-∞~∞)dx・∫(-∞~∞)dy・p(x)・p(y)・h(z-x/y)
だからZの密度関数g(z)は
g(z)=(d/dz)・G(z)
=∫∫(all)dxdy・p(x)・p(y)・(d/dz)・h(z-x/y)
=∫(-∞~∞)dx・∫(-∞~∞)dy・p(x)・p(y)・δ(z-x/y)
=∫(-∞~∞)dx・∫(-∞~∞)dy・|y|・p(x)・p(y)・δ(x-y・z)=∫(-∞~∞)dy・|y|・p(y・z)・p(y)
=2・∫(0~∞)dy・y・p(y)・p(z・y)
である

この回答への補足

あまり内容とは関係無くなってしまうのですが
超関数についての質問をしてもいいでしょうか?

h関数っていうのはヘビサイト関数ですよね?
一応超関数についての基礎知識はあります。
h関数の微分がδ関数になることもきちんと証明できます。
ただ理論的なことしかわかってなくて
そういった関数(緩増加超関数)が
実際の積分であらわされたものの意味がよくわかりません。

確か緩増加超関数の定義は
1.急減少関数上の線形写像
2.連続

の2つを満たすことでした
つまり緩増加超関数っていうのは急減少関数に対して複素数をとる写像ですよね?

ではG(z)=
∫(-∞~∞)dx・∫(-∞~∞)dy・p(x)・p(y)・h(z-x/y)
のように使われているのはどうしてなのですか?
なんか使われる場所が違うように見えてしかたがないのですが・・
もしよろしければ教えてください

補足日時:2002/02/07 16:44
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Xの密度関数をp(x)とすればYの密度関数はp(y)であり


Zの分布関数G(z)は
G(z)=∫(0~∞)dx・∫(-∞~x・z)dy・p(x)・p(y)
+∫(-∞~0)dx・∫(x・z~∞)dy・p(x)・p(y)
=2・∫(0~∞)dx・∫(-∞~x・z)dy・p(x)・p(y)
Zの密度関数g(z)は
g(z)=(d/dz)・G(z)=2・∫(0~∞)dx・x・p(x)・p(x・z)
である

この回答への補足

早い回答ありがとうございます
G(z)=2・∫(0~∞)dx・∫(-∞~x・z)dy・p(x)・p(y)
まではたどりつけていたんですが、最後は微分するんですね
やはりこの積分は無理なんでしょうか・・
この積分をずっと考えていて、微分はあまり考えていませんでした。

今試しに微分して計算したらちゃんと合ってました!!
これで答えはでました(一応安心です笑)
気になるところは積分と微分の交換ですが
たぶん容易に示せると思います。

それともう1つ気になるのは
密度関数が存在するかということなんですが、
存在するかわからないときに微分してもいいのでしょうか?
まあこれはあんまり興味が無いことなので
これについての回答は気が向いたらで結構です笑

ありがとうございました
それと上の方でもう1つ質問があります
もしよかったら教えてください

補足日時:2002/02/07 16:28
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∫(-∞~∞)dx・∫(-∞~∞)dy p(x)・p(y) δ(z-x/y)


を計算すればよいのでは?δはδ関数で束縛条件を表しています。
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Q確率密度関数の求め方について

ある一つの変数に対するデータを数多く収集したとします.一人ひとりに一つづつ値がある身長などです.それを使って身長に関する確率密度を求めたいと思った場合,どのような操作手順になるでしょうか.例えば,最低身長を1mとして5cm刻みのレンジでその中に入る度数を調べて全数で除して,棒グラフみたいなものができたとします.そのグラフの縦軸は確率という次元(無次元)になります.横軸は身長ですね.そのようにしててきたグラフは実は確率密度ではないと思います.なぜなら,確率密度関数を横軸(身長)で積分したら確率になるのだから確率密度関数は身長の逆数の次元を持つ必要があります.そうしますと,例えば先に求めた5cmのレンジに対応して求まった確率をその刻み幅5cmで除す必要があるでしょうか.
このようなことが明記されているテキストがありましたら教えて頂きたいのですが.私の見る限りでは確率密度関数を実際のデータから求めるという演習が載っているものがなく,すべて確率密度関数が与えられているという前提での演習ばかりです.

よろしくお願いします.

Aベストアンサー

>確率密度関数の定義を明確にすること
は,そのとおりです。
定義とともに,どのような仮定(前提)で話を進めるかが重要です。

確率や統計は,身近にあることが対象となりうるために,かえって定義が曖昧になっているような気がします。

かなり確率を学んでいる(私よりかも・・)ようなので,蛇足かもしれませんが,ビュッホン(Buffon) やベルトラン(Bertrand)の問題では,定義が不明確のため解答に混乱を招いてます。
(参考)
http://www.core.kochi-tech.ac.jp/m_inoue/work/math_tale/01.pdf

>すなわち連続型の確率論が先に来るというのが正しいのでしょうか

先に来る,という意味が,はっきりしませんが,連続型で全て表せると考えてもいいでしょう。

確率論でデイラックδ関数を取り上げ,離散も連続も積分を使って一般的議論という解説もあります。古典力学と量子力学の橋渡し,ですね。

>レンジの確率密度関数でなく,その単位レンジの密度関数です。というのは確率密度関数の定義が既に先にある,ことを意味していると思います.

ここも微妙ですが,「 確率 」密度関数とまでは言っていません。その点,注意深く言ったつもりです。自分でも間違いやすいので・・・

棒グラフで止めれば,「離散密度関数」でしょうし,さらに,後半で話したように,曲線近似までもっていけば,「確率密度関数」です。

>確率・統計という学問は解析とか代数という数学分野とちょっと異なっているように思います。

全くそうですね。冒頭述べた,身近にある,ありすぎる点から,問題をややこしくしています。

>確率・統計については逆に実際に計算する手法が先にあってそれが定義であるかのように理解してしまう側面があるのではないでしょうか.

これも全く同意です。
例えば,
誰もが誤差分布の正規性を信じている。実験家は、数学的定理であると思っ ているからであり、数学家は、実験的事実と思っているからである。 (クラメール)
なんて言葉もあるくらいです。

また,統計の計算手法をめぐっては,ここの回答No1にも出てきたsanoriさんと真っ向から対立したくらいですから,
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/6733154.html
計算,それが定義,という面はあると思います。


>数学的な厳密性に対して反乱することがほぼできません.
私も応用分野の人間ですから,そんなものですよ。

>私が挙げた箇条書きの計算手順で循環論になる部分があるとしたらどの部分でしょうか

2.各レンジの度数をレンジ幅で除したリスト(棒グラフ)を作成する.
3.そのリストを積分して値Sを求める.理屈から考えると総サンプル数になるが.

の部分です。各レンジは,総サンプル数が得られたからこそ決められます。例えば,あとからサンプルを加えて行けば,レンジが変わることもあるでしょう。

その決められたはずの総サンプル数に計算を施して,総サンプル数を求める,総サンプル数が求まったら,レンジを決める,決めたら総サンプル数を求める計算をする・・・

こういうことですか?
それなら,不要な計算です。

>確率密度関数の定義を明確にすること
は,そのとおりです。
定義とともに,どのような仮定(前提)で話を進めるかが重要です。

確率や統計は,身近にあることが対象となりうるために,かえって定義が曖昧になっているような気がします。

かなり確率を学んでいる(私よりかも・・)ようなので,蛇足かもしれませんが,ビュッホン(Buffon) やベルトラン(Bertrand)の問題では,定義が不明確のため解答に混乱を招いてます。
(参考)
http://www.core.kochi-tech.ac.jp/m_inoue/work/math_tale/01.pdf
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Q分布関数F(x)の問題が解けないです。

分布関数F(x)の問題が解けないです。

お手数をかけますが、お知恵をいただきたく思います。
以下問題です。
F(x)={0 (x<0) , x^2/4 (0<=x<=2) , 1 (2<=x)}

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(3)の解法が全く分かりません…orz

取りあえず、(1)(2)を求めてみます。
(1) F(3)-F(1)=1-1/4=3/4
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これを使って(3)を解くのだと思いますが、テキストに類題が無いので解らないです。

Aベストアンサー

(1)
>F(3)-F(1)=1-1/4=3/4
合っています。

(2)
> F(x)<をxで>微分して、p(x)=0 (x<0) , x/2 (0<=x<=2) , 0 (2<=x)
これで良いでしょう。

(3)Y=2X+1
F(x)=x^2/4 (0<=x<=2)
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Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

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いささか、思い違いのようです。

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Q確率密度関数の問題教えてください

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Aベストアンサー

同時確率密度関数 f(x,y)=6(x-y) 0<y<x<1 とします。
(1)周辺確率密度関数は
 f1(x)=∫[0,x] 6(x-y)dy=3x^2 ,0<x<1
 f2(y)=∫[y,1] 6(x-y)dx=3(1-y)^2 ,0<y<1
(2)E(x),Sxx
 xm=E[x]=∫[0,1] xf・1(x)dx=∫[0,1] 3x^3=3/4
 E[x^2]=∫[0,1] x^2・f1(x)dx=∫[0,1] 3x^4=3/5
 Sxx=E((x-xm)^2]=E[x^2]-xm^2=3/5-(3/4)^2=3/80
(3)E(y),Syy
 ym=E[y]=∫[0,1] y・f2(y)dy=∫[0,1] 3y(1-y)^2=1/4
 E[y^2]=∫[0,1] y^2・f2(y)dy=∫[0,1] 3y^2(1-y)^2=1/10
 Syy=E((y-ym)^2]=E[y^2]-ym^2=1/10-(1/4)^2=3/80
(4)Cov(x,y)=Sxy
 E[xy]=∫[0,1]∫[0,x] xy・f(x,y)dydx=∫[0,1]∫[0,x] 6xy(x-y)dydx=1/5
 Sxy=E[xy]-mxmy=1/5-3/4・1/4=1/80

同時確率密度関数 f(x,y)=6(x-y) 0<y<x<1 とします。
(1)周辺確率密度関数は
 f1(x)=∫[0,x] 6(x-y)dy=3x^2 ,0<x<1
 f2(y)=∫[y,1] 6(x-y)dx=3(1-y)^2 ,0<y<1
(2)E(x),Sxx
 xm=E[x]=∫[0,1] xf・1(x)dx=∫[0,1] 3x^3=3/4
 E[x^2]=∫[0,1] x^2・f1(x)dx=∫[0,1] 3x^4=3/5
 Sxx=E((x-xm)^2]=E[x^2]-xm^2=3/5-(3/4)^2=3/80
(3)E(y),Syy
 ym=E[y]=∫[0,1] y・f2(y)dy=∫[0,1] 3y(1-y)^2=1/4
 E[y^2]=∫[0,1] y^2・f2(y)dy=∫[0,1] 3y^2(1-y)^2=1/10
 Syy=E((y-ym)^2]=E[y^2]-ym^2=1/10-(1/4)^2=3/80
(4)Cov(x,y)=Sxy
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Q確率変数とは

確率変数P{X=x}のXとxの違いがよく分かりません。というか確率変数の概念自体がよく分かりません。またなぜP{X=x}=P(x)なのかもわかりません。助けてください。

Aベストアンサー

まず、Xとxが紛らわしいですね。
P{X=x}=P(x)
を、
P{A=t}=f(t)
のように置き換えても、同じ意味ですので、こう置き換えて説明してみます。
確率変数というのは、最初に決めた、現象の集合と、実数との対応です。サイコロの例がよく出されますが、逆にわかりにくくしている面もあります。各面に、{a,b,c,d,e,f}という文字が書かれたサイコロを想像してみてください。さて、このサイコロで、{a,b,c}の文字が出る確率を知りたいとしますね。ところが、数学は「数」を扱う世界なので、文字は直接は扱えません。そこで、現象と数の対応を確率変数とします。この場合、確率変数Aを、
サイコロを振ってaが出たら、A=1
サイコロを振ってbが出たら、A=2
サイコロを振ってcが出たら、A=3
サイコロを振ってdが出たら、A=4
サイコロを振ってeが出たら、A=5
サイコロを振ってfが出たら、A=6
となる変数であると決めてしまいます。これで、現象->数への変換が出来ました。確率変数は、このように、本来数学では扱えない「現象の集合」を、数の集合に変換するのに使うのです。
P{A=t}のtは、正確に書くと、t∈実数です。つまり、実数を適当に一つ持ってきたのが、tです。
P{A=t}=f(t)は、現象の集合を確率変数Aで数に置き換えてやった時の値がtである確率が、f(t)という値と同じだよ。という意味です。

まず、Xとxが紛らわしいですね。
P{X=x}=P(x)
を、
P{A=t}=f(t)
のように置き換えても、同じ意味ですので、こう置き換えて説明してみます。
確率変数というのは、最初に決めた、現象の集合と、実数との対応です。サイコロの例がよく出されますが、逆にわかりにくくしている面もあります。各面に、{a,b,c,d,e,f}という文字が書かれたサイコロを想像してみてください。さて、このサイコロで、{a,b,c}の文字が出る確率を知りたいとしますね。ところが、数学は「数」を扱う世界なので、文字は直接は扱えません。...続きを読む

QY=X^2の確率密度関数

確率変数Xが、一様分布U(-1,1)に従うとする。このとき、
Y=X^2の確率密度関数を求めよ。

という問題の解き方で、まずYの一様分布を求めようとしたのですが、

Xが-1から1までの分布なので、Y=X^2から
Y=(-1)^2=1
Y=1^2=1
となるので、YはU'(1,1)の一様分布となる。

となってしまいました。U'(1,1)の一様分布なんておかしいですよね。
解き方が間違っているのでしょうか?
それともここから解くことが出来るのでしょうか?
どなたか分かる方いらっしゃいませんか?

Aベストアンサー

X,Yの確率密度関数をPx(X),Py(Y)とします。
確率密度関数Px(X)とは確率変数Xが(X,X+dX)間になる確率が"Px(X)dX"になる関数Px(X)のことです。

Xは(-1,1)の一様分布ですから、-1<x<1でPx(X)=C(定数),それ以外でPx(X)=0です。
また、Xが(-∞,∞)の間にある確率は"1"ですから
∫[X:-∞→∞]Px(X)dX=∫[X:-1→1]CdX=2C=1
Px(X)=1/2 (A)

となります。

ここからYについて考えますが、XとYは1対1対応ではありませんのでまずはX>0の範囲だけを考えます。この範囲でのYの確率密度関数をP1y(Y),X<0での確率密度関数をP2y(Y)とする。

ここで、Xが(X,X+dX)にあるとき、Yが(Y,Y+dY)にあるとします。
このときの確率が等しくなることから
Px(X)dX=P1y(Y)dY (B)
dXとdYの関係はXとYの関係式 Y=X^2を微分すれば
dY/dX=2X→dY=2XdX (C)
となります。

(A),(C)を(B)に代入すると
(1/2)dX=P1y(Y)*2XdX
Py(Y)=(1/2)/2X=1/(4X)
となります。
この式にY=X^2→X=√Yを代入して

P1y(Y)=1/(4√Y)

となります。今考えているXの変域はXが(0,1)であることからYの変域は(0,1)となります。
Xが(-1,0)の場合も同様に解け、P2y(Y)=1/(4√Y)が得られます。

Py(Y)=P1y(Y)+P2y(Y)=1/(2√Y)
となります。(0<Y<1)

X,Yの確率密度関数をPx(X),Py(Y)とします。
確率密度関数Px(X)とは確率変数Xが(X,X+dX)間になる確率が"Px(X)dX"になる関数Px(X)のことです。

Xは(-1,1)の一様分布ですから、-1<x<1でPx(X)=C(定数),それ以外でPx(X)=0です。
また、Xが(-∞,∞)の間にある確率は"1"ですから
∫[X:-∞→∞]Px(X)dX=∫[X:-1→1]CdX=2C=1
Px(X)=1/2 (A)

となります。

ここからYについて考えますが、XとYは1対1対応ではありませんのでまずはX>0の範囲だけを考えます。この範囲でのYの確率密度関数をP1y(Y),X<0での確率密度関数をP...続きを読む

Q確率密度関数からの期待値の求め方

(たぶん?) 統計学の問題です。

xが(0≦x≦1)で一様に分布しているときの期待値E(x)の求め方を教えてください。

解説では、
確率密度関数f(x)=1(0≦x≦1)
E(x)=∫[1,0]x・f(x)dx
=∫[1,0]1・xdx
=[(x^2)/2][1,0]=1/2
([1,0]は∫の上に1がついて、下に0がついていました)
となっていたのですが、わたしは高校数学をやってこなかったので、解説を読んでもちんぷんかんぷんなんです…。

とくに確率密度関数が1となっている理由と、積分のやり方を教えていただけないでしょうか。

Aベストアンサー

>([1,0]は∫の上に1がついて、下に0がついていました)
通常は,[下限,上限]の順に書きます。 → [0,1] or [0→1] など。
[1,0] は逆です。

>積分のやり方を教えていただけないでしょうか。
この程度の積分が数学の微分積分の章や微積分の参考書の積分の最初の方に載っています。積分法は、きちんと学ぼうとすれば参考書や教科書一冊分以上の内容がありますので、ここで簡易に教えてもらって習得しようとするには無理があります。微積分の教科書や参考書を購入して、基礎から一通り学習された方がいいと思います。

確率密度関数 f(x) の性質
 ∫[-∞, ∞] f(x) dx =1 … (※)
確率分布関数は f (x) を使って 
 F(x)=∫[-∞, x] f(x) dx , F(∞)=1
で定義されます。

今の場合
>xが(0≦x≦1) で一様に分布しているとき

f (x)=k(定数)(0≦x≦1), f (x)=0 (その他のx) …(★) とおいて(※)の左辺に代入すると

 ∫[-∞, ∞] f(x) dx = ∫[-∞, 0] 0 dx + ∫[0, 1] k dx + ∫[1, ∞] 0 dx
   = 0 + [ kx] [0, 1] + 0
  = k (1-0) = k … (☆)

>とくに確率密度関数が1となっている理由

(☆)が、(※)の右辺の1に等しいから
  k = 1 … (◆)
とKが決まります。

これを(★)に代入すれば、「xが(0≦x≦1) で一様に分布している」場合の確率密度関数

 f(x) = 1 (0≦x≦1), f (x)=0 (その他のx) …(★)

>x が(0≦x≦1)で一様に分布しているときの期待値E(x)の求め方を教えてください。

期待値の定義式は

 E { x } = ∫[-∞, ∞] x f(x) dx

です。これに (★)のf(x)を代入すれば

 E { x } = ∫[-∞, ∞] x f(x) dx =∫[0, 1] x * 1 dx =∫[0, 1] x dx

積分公式:∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C (n=1) を適用して

  = [(1/2)x^2] [0, 1] = (1/2)*(1^2 -0^2) ] =(1/2)*1
  = 1/2

という結果が得られます。

>([1,0]は∫の上に1がついて、下に0がついていました)
通常は,[下限,上限]の順に書きます。 → [0,1] or [0→1] など。
[1,0] は逆です。

>積分のやり方を教えていただけないでしょうか。
この程度の積分が数学の微分積分の章や微積分の参考書の積分の最初の方に載っています。積分法は、きちんと学ぼうとすれば参考書や教科書一冊分以上の内容がありますので、ここで簡易に教えてもらって習得しようとするには無理があります。微積分の教科書や参考書を購入して、基礎から一通り学習された方がいいと思います。...続きを読む

Q確率変数の和の問題

確率変数の和の問題です。

2つの確率変数XとYが、互いに独立に一様分布に従うとするとき、
確率変数X+Yはどのような分布の形状になるのでしょうか?

結局、和も一様分布になるのでしょうか?分からなくなってしまいました。
教えて下さい。

Aベストアンサー

連続型でピンとこないなら、離散型で考えてみれば?例えばサイコロを1個振るでしょ。1から6に一様(離散なので一様的)に出るね。2回振って和を取ると、平均3.5*2=7だけど2から12が一様的には出ないよね。
元問題を正確に解くと、確率変数X,Yの確率密度関数をf(x),g(y)として。確率変数Z=X+Yの確率密度関数をh(z)とすると。
h(z)=∫[-∞,∞]f(z-y)g(y)dy または h(z)=∫[-∞,∞]f(x)g(z-x)dx を計算すればよい。
問題よりf(x)=1 (0≦x≦1),g(y)=1 (0≦y≦1) なので 0≦z≦1のときyは0≦y≦z,1<z≦2のときz-1≦y≦1の範囲をとる。
0≦z≦1 のとき h(z)=∫[0,z]f(z-y)g(y)dy=∫[0,z]1・1dy=z
1<z≦2 のとき h(z)=∫[z-1,1]f(z-y)g(y)dy=∫[z-1,1]1・1dy=1-(z-1)=2-z

Q上極限、下極限が理解できません

大学で習っているのですが、limsupやliminfなどが定義を見ても、どういう意味なのか理解できません。

上界、下界、上限、下限については例があったので、なんとか理解することができました。


X={1,2,3}⊆Zのとき、下界の1つとして0がとれる。

こんな感じで、簡単な例つきで説明して下さると、理解できると思うのですが・・・。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

上極限

sin(n)で考えましょう。nは自然数です。
sin(n)は振動しているので極限はないけど、
「nが大きい時(というか初めからだけど)1を超えることはない」
「1付近の値を何回も(無限回)とる」
から1が上極限です。
ことばでいえば、
「ずっと先のほうでは、上極限の値より大きくならない」
(極限の意味でです。∀ε>0に対し上極限+εより大きくならないってことです)



この例では下極限はー1ですね。

(sin(n)-1)*n の場合だと、
上極限は0で、下極限は「なし」(-∞)となりますね。

Q複素解析 留数って何ですか?

こんばんは、大学2年生です。現在、複素解析を授業でやっているのですが留数って何ですか?授業中に

f(z)=e二乗/(z-1)(z-2) (z=2)について証明しろと問題が
出されたのですが理解できず困ってます。

アドバイスお願いします。

Aベストアンサー

留数とは
Res[f,a]=1/2πi*∫f(z)dz  …(1)

の積分によって求められる値が留数だ!ってまず覚えてください。
この式は領域D内にある、特異点を含む単一曲線を示していると考えてください。

(z=2)は特異点ですよね?
ローラン展開しないとf(z)は分母が0になっちゃいますよね?
それが特異点なのです。だからz=1も特異点です。
ここでまた大事なのが特異点の極といわれるものです。この式の場合はどっちも(z-1)^1(z-2)^1なのでどっちも1位の極です。
    (z-1)^2(z-2)^1ではz=1では2位、z=2では1位の極となります。極は一般にはk位の極などといいます。
f(z)の特異点における留数を求めたい場合は、f(z)と求めたい特異点の極を求める必要があります。


Res[f,a]=1/2πi*∫f(z)dz  
    =1/(k-1)!*lim(z→a) d^(k-1)/dz^(k-1)[(z-a)^k*f(z)]
に極、f式を代入して簡単に求められます。


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