広義積分∫sinx/x^α dxは0<α<2ならば収束することを示せ。またこの積分は1<α<2のときのみ絶対収束することを示せ。ただし積分区間は0~∞とする。まったくわからないので丁寧に教えてくれればありがたいです。よろしく御願いいたします。

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A 回答 (1件)

後半:


0≦x≦πでsin(x)≦xと
0≦x≦π/2で2・x/π≦sin(x)と
|sin(x)|≦1と
kを自然数としたとき
∫((k+1)・π~(k+2)・π)dx・2/x^α=
∫(k・π~(k+1)・π)dx・2/(x+π)^α<
∫(k・π~(k+1)・π)dx・2/((k+1)・π)^α=
∫(k・π~(k+1)・π)dx・|sin(x)|/((k+1)・π)^α<
∫(k・π~(k+1)・π)dx・|sin(x)|/x^α
により
∫(0~π/2)dx・(2/π)/x^(α-1)+∫(2・π~∞)dx・2/x^α <
∫(0~π/2,π~∞)dx・|sin(x)/x^α|
<∫(0~∞)dx・|sin(x)/x^α|<
∫(0~π)dx・1/x^(α-1)+∫(π~∞)dx・1/x^α
により明らか

前半:
[1<α<2のとき]
後半の証明参照
[0<α≦1のとき]
kを自然数としてa[k]≡∫(0~k)dx・sin(x)/x^αとする
m,nを0<m<nである自然数として部分積分をし
a[n]-a[m]=∫(m~n)dx・sin(x)/x^α=
-[cos(x)/x^α](m,n)- α・∫(m~n)dx・cos(x)/x^(α+1)
m→∞ならば
|a[n]-a[m]|=|∫(m~n)dx・sin(x)/x^α|
≦1/m^α+1/n^α+∫(m~n)dx・α/x^(α+1)
=1/m^α+1/n^α-1/n^α+1/m^α=2/m^α→0
によりa[k]はコーシー列である
従ってlim(k→∞)・a[k]=∫(0~∞)dx・sin(x)/x^αは収束する
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Q数IIIの積分法なんですが問題を見て置換積分と部分積分どちらを使って計算す

数IIIの積分法なんですが問題を見て置換積分と部分積分どちらを使って計算するか分からなくなったらとりあえず置換積分の方法でといてみてとけなかったら部分積分でといてみるという解き方でもいいでしょうか?ほとんどは置換積分法で解けますか?

Aベストアンサー

前回質問から少し変わりましたけど、締め切らずに同様の質問をすると二重投稿と判定されることがあります。
もしも二重投稿と判定されたら、最初の質問が強制締め切りになります。
そのとき、ダメージを受けたり気分を害されたりするのは質問者でしょうか?回答者でしょうか?

では本題。

>>>問題を見て置換積分と部分積分どちらを使って計算するか分からなくなったらとりあえず置換積分の方法でといてみてとけなかったら部分積分でといてみるという解き方でもいいでしょうか?

あなたの自由です。
戦略としてどちらが優れていてどちらが劣っているかは、ケースバイケース。
式を見てどう判断するかのコツは、すでに前回で回答しています。

>>>ほとんどは置換積分法で解けますか?

まさか。
置換積分を習ったばかりのタイミングでの小テストぐらいではないでしょうか。

Q{An}が An>0 lim[n→∞]An=α(0≦α<1) を満たす

{An}が An>0 lim[n→∞]An=α(0≦α<1) を満たすとき
lim[n→∞]A1A2…Anを証明つきで求めよ


0に収束すると予測できますが証明がわかりません

|b|<1のときlim[n→∞]b=0は既知とします

Aベストアンサー

まあ,勘でも何でもいいんだけども
条件を満たすシンプルな数列を作ってみればいいじゃない

自明な例:an = 1/2

{An}がαに収束するってことは
十分大きなNをとれば,
n>N ならば 0<α-ε<An<α+ε<1
ってできるってことだよ.

そうしたら,|A_{N+1}・・・A_n|<|α+ε|^{n-N}
なんだから,あとは「有限個」のA_1,・・・A_Nの最大値をMとでもおけば
不等式評価できるでしょう

|A1A2…An|<M^N|α+ε|^{n-N}

Q瞬間部分積分に使われるている定理

よろしくお願いします。
今日、瞬間部分積分を習ったのですが、そのときにこれは
大学一年生の時に学ぶものを一部かいつまんだものだよと
いう話がありました。
そこで質問なのですが瞬間部分積分はなんという定理をもとに
しているものなのでしょうか?ご教授よろしくお願いします。

Aベストアンサー

> f・g の積分は f・g*-f'・g**+f''・g*** みたいになるやつです

なりません。

(f・g* - f'・g** + f''・g***) ' = f・g + f'''・g*** ≠ f・g
であることは、自分で確認できますね?
右辺の最後に出てくる f'''・g*** の項を打ち消すためには、
左辺に更にもう一項 - f'''・g**** を付け加えざるを得ず、その結果、
また余計な項 - f''''・g**** が生じてしまいます。
この連鎖には、終わりがありません。

これを際限なく続けると、
∫f・g = Σ[k=0→∞] (-1)^k (f に k 回 ') (g に k+1 回 *)
という級数展開を生じますが、右辺の Σ は収束するのか?とか、
いろいろ問題があります。
この辺の問題点を整理して、公式の細部を詰めるには、確かに
大学で教わる数学が必要になるでしょう。
そこまでして完成する価値のある公式かどうかは、甚だ疑問ですが。

f が多項式の場合には、k が大きくなると (f に k 回 ') が 0 になって、
Σ は有限項の和になりますから、ゴタゴタは避けられます。
が、f が多項式の場合に限った話です。

ところで、「整式で表される関数」と「整関数」は、全く別のものですよ。

> f・g の積分は f・g*-f'・g**+f''・g*** みたいになるやつです

なりません。

(f・g* - f'・g** + f''・g***) ' = f・g + f'''・g*** ≠ f・g
であることは、自分で確認できますね?
右辺の最後に出てくる f'''・g*** の項を打ち消すためには、
左辺に更にもう一項 - f'''・g**** を付け加えざるを得ず、その結果、
また余計な項 - f''''・g**** が生じてしまいます。
この連鎖には、終わりがありません。

これを際限なく続けると、
∫f・g = Σ[k=0→∞] (-1)^k (f に k 回 ') (g に k+1 回...続きを読む

Q数IIIの積分法なんですが置換積分と部分積分法の公式のどっちを使って問題と

数IIIの積分法なんですが置換積分と部分積分法の公式のどっちを使って問題とくかわかりません。問題のどの部分を見てどちらの公式を使うか教えて下さい。

Aベストアンサー

まず置換積分できるか調べましょう.このためには被積分関数を二つの関数の積と考え,一方の関数が他方の関数の原始関数の関数になっていれば置換積分が使えます.すなわち,被積分関数を f(x)g(x) と表したとき,G'(x)=g(x) である G(x) を用いて f(x)=h(G(x)) となる関数 h(u) が見つかれば
∫f(x)g(x)dx = ∫h(G(x))G'(x)dx = ∫h(u)du
です.例えば
(log 2x)/(x log x^2) = h(log x){log x}'
h(u) = (u + log 2) / 2 u = 1/2 + (log 2)/2u
だから
∫(log 2x)/(x log x^2)dx = (1/2){log x + (log 2)log(log x)} + C
となります.
置換積分がダメそうなら部分積分できるか調べましょう.概してこちらの方が調べるのが面倒です(とくに漸化式を使う場合).

QR^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
から先に進めません。
λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=Σ[n=1..∞]λ(∪[k=n..∞]A_k)なんて変形もできませんよね。
どのすれば=0にたどり着けますでしょうか?

(イ)について
答えは多分Yesだと思います。
Lebesgue可測集合はL:={E∈R^n;E⊂Uでinf{λ^*(U\E);Uは開集合}=0}の元の事ですよね。
なのでLebesgue測度は制限写像λ^*|L:=μと書けますよね。
それで∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lを示せば(ア)からLebesgue測度0が言えると思います。
今,(ア)より
inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}=0
と分かったので
0=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(但しBd(I_i)は境界点)
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(∵||の定義)
からinf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となればI_i\Bd(I_i)は開集合になので
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}=0が言え,
∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lも言え,
μ(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=0(∵(ア))
となりおしまいなのですが

inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
から
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となる事がどうしても言えません。どうすれば言えますでしょうか?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=...続きを読む

Aベストアンサー

数列の部分和の定義と∩∪の定義からすぐだと思いますよ。
面倒なので外測度を単にλで表します。
仮定はΣλ(A_k)<∞です。これは級数の収束の定義から部分和
S_N=Σ[k=1,..,N] λ(A_k)
がコーシー列、よって
任意のε>0に対してNが存在し、n≧Nならば
Σ[k=n,...,∞] λ(A_k)<ε
ということを言っているわけです。
問題は、∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_kの外測度を求めることですが上の事実を利用できることが分かると思います。上で示したNをとってきます。このとき
λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)≦Σ[k=N,..,∞] λ(A_k)<ε
となるのはほとんど明らかですね。任意のεに対してもっと大きい番号N'をとっても問題の集合はN'から先の和集合に含まれるわけですからこれは結局λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)=0でなければならないことを示しています。

Q部分積分、置換積分

積分の問題がでたとき、部分積分で解くのか置換積分で解くのか区別ができません。何か区別の仕方とかあるのでしょうか。教えてください。

Aベストアンサー

こんにちは。

「部分積分法」は「積の微分法」の逆で、
「置換積分法」は「合成関数の微分法」の逆というのは分かりますよね。

と言う事で、「積分」をするときはいつも頭の中で「微分」しながらやると
良いでしょう。検算にもなります。

「置換積分」と「部分積分」の見分け方のアドバイスは私にはできないので、
推薦図書を2つあげておきます。参考になればよいのですが。

たくさん問題を解いて(やっぱりこれは大前提です)、解く問題が無くなってきたら、
難しめのものに挑戦しましょう。次の2つを通り抜けられたらとりあえず積分計算に
関しては大丈夫と思って下さい。

・解法の探求II(東京出版)の原則編「積分(1)」
・微積分/基礎の極意(東京出版)の第一部「計算力のチェック」

置換積分と部分積分の重要問題が集められています。
これらは数学苦手気味の方には難しいと思います。他の参考書が良いでしょう。
難関大学を目指されるのであれば、上のどちらかを手にとってみることを
お勧めします。受験会場で、どちらかを開いている人が結構いるはずです。頑張って下さい。

こんにちは。

「部分積分法」は「積の微分法」の逆で、
「置換積分法」は「合成関数の微分法」の逆というのは分かりますよね。

と言う事で、「積分」をするときはいつも頭の中で「微分」しながらやると
良いでしょう。検算にもなります。

「置換積分」と「部分積分」の見分け方のアドバイスは私にはできないので、
推薦図書を2つあげておきます。参考になればよいのですが。

たくさん問題を解いて(やっぱりこれは大前提です)、解く問題が無くなってきたら、
難しめのものに挑戦しましょう。次...続きを読む

QΣ[n=1..∞]a_n (a_n>0)は収束する。Σ[n=1..∞]a_n/n^pが収束するようにpの全ての値を求めよ

[問]Σ[n=1..∞]a_n (a_n>0)は収束する。Σ[n=1..∞]a_n/n^pが収束するようにpの全ての値を求めよ。
[解]
(i) p>0の時,
1/1^p≧1/2^p≧…≧0且つlim[n→∞]1/n^p=0
よって定理「Σ[n=1..∞]a_n∈Rで{b_k}は単調且つlim[n→∞]b_n=0⇒Σ[n=1..∞]a_kb_kも収束」より
Σ[n=1..∞]a_n/n^p∈R
(ii) p=1の時
Σ[n=1..∞]a_n/n^p=Σ[n=1..∞]a_nで収束(∵仮定)
(iii) p<0の時
が分かりません。
どのようにして判定すればいいのでしょうか?

Aベストアンサー

簡単な判定方法はありません。
Σ[n=1..∞]a_n/n^p
のタイプの級数をディリクレ級数といいます。冪級数の収束半径のようなものがあり、pの実部がσより大きいと収束し、pの実部がσより小さいと発散するような実数σが存在します。pの実部がσのときは収束することもあれば発散することもあります。
この問題の場合σが負または0であること以上のことはわかりません。a_nによってσは異ります。

Q置換、部分積分の証明です。

数学IIIの置換積分、部分積分の証明の仕方が知りたいです。何かいい本をご存知の方いらっしゃいませんか?教科書にはまったく載っていないので。

Aベストアンサー

>教科書にはまったく載っていない
 そんなはずはない。どんな教科書でも(問題集は別ですよ)、公式だけかかげて、理由はいわないからこれを覚えろなどとは、いっていないはずです。そんな本があったとしても、国の検定にパスしないから、高校で使われることはありません。
 もし、あなたがそう感じるなら、見落としです。置換積分、部分積分がはじめて出てきたページをみてごらんなさい。ただ、あまりにも当たり前すぎることだから、軽く書いてあるでしょうから、それが証明になっていることに、あなたが気づいていないだけです。
 本当に、説明が何も無いなら、その教科書の書名と出版社を教えてください。


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