2つの円に接する線の接点の座標の求め方

２つの円に接する線の接点の座標が知りたいです。
円の半径、中心座標はわかります。
どういう式にすれば出るのでしょうか？

数学はまったくわからないので、簡単な式でできるだけお願いします。

No.4 回答者： motsuan 回答日時： 2002/03/11 23:52

図形で考えるとちょっとらくかも。

（１）２つの円の中心を結ぶ直線ｑを考えます。

（２）求める接線はこの線に対して鏡写しのものがあるので
本質的には２つみつければよいことがわかると思います。
その二つの線をａ，ｂとします。

（３）ｑとａ，ｂの交点をA、Bとして、
接点と中心とA,Bがそれぞれつくる３角形を考えれば
その３角形が相似であることがわかります。

（４）（３）は円の間の距離は決まっているので
３角形の相似の関係から
交点A,Bがきまる（それぞれの中心からの距離が決まる）
ということを意味しています。

（５）ところで今考えている３角形は直角三角形なので
半径と中心からA、Bまでの距離が決まれば
３角形の形がきまります
（というか、接点が円の中心からどの方向にあるか決まります。）

定規とコンパスで作図できると思いますが、
数値的に求めたい場合は、比の計算と、
三角関数（逆関数）を計算する必要があります。
（関数電卓があれば簡単にできると思います。）

No.3 回答者： ymmasayan 回答日時： 2002/03/06 01:11

No.1のymmasayanです。

＞　円同士は近くにあります。円と円にクロスした接線にはなりません。
（４本ってそういうことですか？）

そうです。接したり重なったりしていなければどんなに近くても４本出来てしまいます。

＞　円Ａから円Ｂは、45度くらいの斜め上にあると考えて、円の上の方を接線が通るとしたらできますか？

どういう位置関係にあっても同じです。No.2の方が回答されているように、結構複雑な計算が必要です。

この回答へのお礼

あ、そうですね。４本だ。

でもやらなくてはいけないので、複雑でもがんばります！
ありがとうございます。

お礼日時：2002/03/06 13:35

No.2 回答者： finalanswer 回答日時： 2002/03/06 00:21

中心(a,b)、半径rの円の方程式および中心(c,d)、半径sの円の方程式は

(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 …(1)
(x-c)^2+(y-d)^2 = s^2 …(2)
となりますね。（a,b,r,c,d,sはすべて実数）、
直線の式を y = px+q （p,qは実数、y軸と平行の場合は別に考える）として、
(1)と(2)の式に代入して変形すると
(p^2+1)x^2 + 2(q-b-a)x + a^2+(q-b)^2-r^2 = 0 …(3)
(p^2+1)x^2 + 2(q-d-c)x + c^2+(q-d)^2-s^2 = 0 …(4)
となって、(3)と(4)の2次方程式がともに重解を持つから、各々の判別式 = 0
とすれば、pとqの連立2次方程式となり、pとqの組が求められます。
※2つの円の位置により、pとqが0～4通りの組み合わせとなります。
求めたpとqを(3)または(4)に代入して、2次方程式の解を求めて、
直線の式に代入すれば、接点の座標が求められます。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
2次方程式はいつか習ったような・・
ですが、解き方がわかりません・・

せっかく教えていただいたので勉強します。

補足日時：2002/03/06 13:28

No.1 回答者： ymmasayan 回答日時： 2002/03/05 23:20

直接の答えでなくてごめんなさい。

簡単な式で説明するのは結構難しそうです。
２つのエンがかなり離れていれば、条件に合う接線は４本も引けてしまいます。
と言う事はなかなか厄介です。

この回答への補足

円同士は近くにあります。円と円にクロスした接線にはなりません。
（４本ってそういうことですか？）

円Ａから円Ｂは、45度くらいの斜め上にあると考えて、円の上の方を接線が通る
としたらできますか？

補足日時：2002/03/05 23:31