2つの円に接する線の接点の座標が知りたいです。
円の半径、中心座標はわかります。
どういう式にすれば出るのでしょうか?

数学はまったくわからないので、簡単な式でできるだけお願いします。

A 回答 (4件)

図形で考えるとちょっとらくかも。



(1)2つの円の中心を結ぶ直線qを考えます。

(2)求める接線はこの線に対して鏡写しのものがあるので
本質的には2つみつければよいことがわかると思います。
その二つの線をa,bとします。

(3)qとa,bの交点をA、Bとして、
接点と中心とA,Bがそれぞれつくる3角形を考えれば
その3角形が相似であることがわかります。

(4)(3)は円の間の距離は決まっているので
3角形の相似の関係から
交点A,Bがきまる(それぞれの中心からの距離が決まる)
ということを意味しています。

(5)ところで今考えている3角形は直角三角形なので
半径と中心からA、Bまでの距離が決まれば
3角形の形がきまります
(というか、接点が円の中心からどの方向にあるか決まります。)

定規とコンパスで作図できると思いますが、
数値的に求めたい場合は、比の計算と、
三角関数(逆関数)を計算する必要があります。
(関数電卓があれば簡単にできると思います。)
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No.1のymmasayanです。



> 円同士は近くにあります。円と円にクロスした接線にはなりません。
(4本ってそういうことですか?)

そうです。接したり重なったりしていなければどんなに近くても4本出来てしまいます。

> 円Aから円Bは、45度くらいの斜め上にあると考えて、円の上の方を接線が通るとしたらできますか?

どういう位置関係にあっても同じです。No.2の方が回答されているように、結構複雑な計算が必要です。
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この回答へのお礼

あ、そうですね。4本だ。

でもやらなくてはいけないので、複雑でもがんばります!
ありがとうございます。

お礼日時:2002/03/06 13:35

中心(a,b)、半径rの円の方程式および中心(c,d)、半径sの円の方程式は


(x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 …(1)
(x-c)^2+(y-d)^2 = s^2 …(2)
となりますね。(a,b,r,c,d,sはすべて実数)、
直線の式を y = px+q (p,qは実数、y軸と平行の場合は別に考える)として、
(1)と(2)の式に代入して変形すると
(p^2+1)x^2 + 2(q-b-a)x + a^2+(q-b)^2-r^2 = 0 …(3)
(p^2+1)x^2 + 2(q-d-c)x + c^2+(q-d)^2-s^2 = 0 …(4)
となって、(3)と(4)の2次方程式がともに重解を持つから、各々の判別式 = 0
とすれば、pとqの連立2次方程式となり、pとqの組が求められます。
※2つの円の位置により、pとqが0~4通りの組み合わせとなります。
求めたpとqを(3)または(4)に代入して、2次方程式の解を求めて、
直線の式に代入すれば、接点の座標が求められます。

この回答への補足

回答ありがとうございます。
2次方程式はいつか習ったような・・
ですが、解き方がわかりません・・

せっかく教えていただいたので勉強します。

補足日時:2002/03/06 13:28
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直接の答えでなくてごめんなさい。


簡単な式で説明するのは結構難しそうです。
2つのエンがかなり離れていれば、条件に合う接線は4本も引けてしまいます。
と言う事はなかなか厄介です。

この回答への補足

円同士は近くにあります。円と円にクロスした接線にはなりません。
(4本ってそういうことですか?)

円Aから円Bは、45度くらいの斜め上にあると考えて、円の上の方を接線が通る
としたらできますか?

補足日時:2002/03/05 23:31
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QNZドル為替動向

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半年前から三ヶ月前までは
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なっています。
これは何かNZで起こっているのでしょうか?
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NZだけでなくUSや他の通貨に対しても
高くなっているようです。

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予告するのは不可能ですが
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-2ax+2tx-t^2-2sy+2by+s^2=0
ここで、sを固定して、tの方程式をみて
D>=0,よって、S^2-2ys+x^2-2ax+2by>=0
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c2:(x-b)^2+(y-t)^2=b^2

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x^2 + y^2 + lx + my + n = 0である。
三点を(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)とすると、
これらを代入すれば、

(x1)^2 + (y1)^2 + l(x1) + m(y1) + n = 0---(1)
(x2)^2 + (y2)^2 + l(x2) + m(y2) + n = 0---(2)
(x3)^2 + (y3)^2 + l(x3) + m(y3) + n = 0---(3)

(1)(2)(3)のl,m,nに関する3元連立方程式となるので、
これをとき、それぞれの解を求める。
そして,求まった解をそれぞれ、l',m',n'とおく。
後は、x^2 + y^2 + l'x + m'y + n' = 0とし、
以下のように変形していく。

(x + l'/2)^2 + (y + m'/2)^2 + n' - (l'/2)^2 - (m'/2)^2 = 0
(x + l'/2)^2 + (y + m'/2)^2 = {(m'/2)^2 + (l'/2)^2 - n'}

これにより、円の中心の座標は、(-l'/2,-m'/2)であり、
円の半径は、√{(m'/2)^2 + (l'/2)^2 - n'}となります。

円の方程式の一般系は、
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(x1)^2 + (y1)^2 + l(x1) + m(y1) + n = 0---(1)
(x2)^2 + (y2)^2 + l(x2) + m(y2) + n = 0---(2)
(x3)^2 + (y3)^2 + l(x3) + m(y3) + n = 0---(3)

(1)(2)(3)のl,m,nに関する3元連立方程式となるので、
これをとき、それぞれの解を求める。
そして,求まった解をそれぞれ、l',m',n'とおく。
後は、x^2 + y^2 + l'x + m'y + n' = 0とし、
以下のように変形していく。

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Q為替相場(円/ドル)についての問題

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直線   (X0, Y10.15)を始点として95度
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Aベストアンサー

#1です。補足ありがとうございます。

>Y軸に対して95度です。(X0, Y10.15)を通る左上がりの直線です。

書いておられる図はX軸に対して95度のようですね。これを元に書いていきます。
#1で書いたように元の円に接する円の中心の集合は(#2さんも書いておられるように)
中心X-9.3, Y48.527、半径(12.2+17.3)です。
式で書くと

(X+9.3)^2+(Y-48.527)^2=29.5^2=870.25

また、元の直線と距離が17.3の線が通る点としては(0,10.15)を通り、
元の直線に垂直な線を考え、それで17.3をとると

x=±cos(5°)*17.3=±17.234
y=10.15±sin(5°)*17.3=11.658、8.642

また、tan(95°)=-11.43

ということで

(X+9.3)^2+(Y-48.527)^2=870.25



Y=-11.43*(X-17.234)+11.658

もしくは

Y=-11.43*(X+17.234)+8.642

の交点になります。最大4点あります。(元の円と直線が交わってますので)
とりあえず、第一象限にくるのが(12.245,68.682)、第二象限にくるのが
(-18.265,20.422)だと思います。(検算してください。手抜きでExcelに
計算させました。)

#1です。補足ありがとうございます。

>Y軸に対して95度です。(X0, Y10.15)を通る左上がりの直線です。

書いておられる図はX軸に対して95度のようですね。これを元に書いていきます。
#1で書いたように元の円に接する円の中心の集合は(#2さんも書いておられるように)
中心X-9.3, Y48.527、半径(12.2+17.3)です。
式で書くと

(X+9.3)^2+(Y-48.527)^2=29.5^2=870.25

また、元の直線と距離が17.3の線が通る点としては(0,10.15)を通り、
元の直線に垂直な線を考え、それで17.3をとると

x=±cos(5...続きを読む


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