早稲田大学の過去問です。 ３次関数f(x)はx=1とx=2で極値をとり、曲線y=f(x)と曲線y=3

早稲田大学の過去問です。

３次関数f(x)はx=1とx=2で極値をとり、曲線y=f(x)と曲線y=3x/｛2√(x^2+1)+1｝は点(0,1)において共通の接線をもつとする。このときf(x)を求めよ。

分かる方は解説していただけるとうれしいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： konjii 回答日時： 2019/05/19 15:34

f(x)=ax^3+bx^2+cx+dと置く。

f'(x)を求めると、3ax^2+2bx+c
f(x)はx=1とx=2で極値をもつので、
極値では接線が0、つまり、
f'(1)＝３a+2b+c=0・・・①
f'(2)=12a+4b+c=0・・・②
(y=3x/｛2√(x^2+1)+1｝は3ｘ/2√(x^2+1)+1だよね,でないとｙ(0)=0≠１になるからね)
また、g(x)=3ｘ/2√(x^2+1)+1と置いて、
g'(x)を求め、g'(x)=3/(2√(x^2+1))+3x^2/(x^2+1)
点(0,1)で共通の接線を持つという条件から、
g'(0)=f'(0)=ｃ=3/2・・・③
①,②,③からがa=-1/8,b=-9/8,c=3/2が求まる
あとは、f(x)は点(0,1)を通るので、
f(0)=1からd=1・・・④　これらを代入するとｆ(x)＝-1/8x^3-9/8x^2+3/2x+1が求まります。

この回答へのお礼

ありがとうございます ( ；∀；)

お礼日時：2019/05/19 15:55