rot(回転),div(発散)の疑問点

こんにちは。工学を勉強している大学１回生です。
突然ですが、ある数学の先生が、暇な人に、という感じで次のような問題を出しました。

「rot(回転)、div(発散)が、座標系にとらわれずに成り立つことを証明せよ」

そこで、僕はgradの証明の文献らしきものを見つけたので、読んでみて、それをアレンジすればよいのかな？　と思ったのですが、gradの文献を読んでみて、わからない単語が多すぎました。ベクトル場・スカラー場やらなんやら…。さっぱりです。

おまけに、rotとdivの解説も、あまりよくわかりません。

そこで、この証明をわかりやすく（なくてもいいですが、証明として形になるように）していただけるととてもありがたいです。

よろしくお願いします!!

No.4 回答者： grothendieck 回答日時： 2006/08/25 05:22

divAは下で見た様に簡単ですが、rotAの回転変換での不変性は少し難しいので書いておきましょう。

まずrotAは

　rotA = Σ∂i Aj dxi∧dxj

で定義されます。ここでAjはdivの場合と違ってベクトルの共変成分です（もっともユークリッド空間ではテンソルの反変成分と共変成分は等しくなります）。dxi∧dxjは外積で
　dx × dy = dz, dy × dz = dx, dz × dx = dy,
と書かれたりします。でも2階のテンソルとベクトルが等しいわけがない。正確にはHodgeのstarを使って
　dxi∧dxj = ＊εijk dxk
とする必要がありますが、不変性を示すにはdxi∧dxjのままの方が容易な様です。
　　x'i = ΣOij xj

と変換される時ベクトルAの共変成分と微分演算子は

　　∂'i = Σ(O^-1)ji ∂j, 　A'i = Σ(O^-1)ji Aj

の様に変換され、dxiは

　dx'i = ΣOij dxj
の様に変換されることを用いると、

　Σ∂'i A'j dx'i∧dx'j = Σ∂i Aj dxi∧dxj

は明らかです。

No.3 回答者： grothendieck 回答日時： 2006/08/20 23:11

divやrotは３次元ユークリッド空間で定義され、変換群はE(3)（回転と平行移動）です。

座標系の回転で座標が

　x'i = ΣOij xj

と変換される時ベクトルAの成分と微分演算子は次の様に変換されます

　A'i = ΣOij Aj
　∂'i = Σ(O^-1)ji ∂j

ここでOは３次直交行列の一つ、O^-1はその逆行列です。したがって新しい座標系でdivを計算すると、

　Σ∂'i A'i
= Σ∂j (O^-1)ji Oik Ak
= Σ∂j Aj

でベクトルの成分が変わるにもかかわらず全く同じ形になります。平行移動やrotについても同様です。

この回答へのお礼

ありがとうございます!!

なんか顔文字のように見えましたが、きちんと考えてみたいと思います。

またよろしくお願いします!!

お礼日時：2006/08/23 19:08

No.2 回答者： ojisan7 回答日時： 2006/08/18 18:22

「座標系よらず、成り立つ」というのがどういう意味かによると思います。

意味がわからないと問題を解くことができませんね。

「座標系よらず、成り立つ」という意味は、たぶん、Ｔという変換により、ベクトルｘがx'=Txとなったときy=rotxはｙ'=rotx'となるかどうか、ということだろうと思います。ただし、y'=Tyです。もし、そういう意味だとすると、次に考えることは、Ｔという変換はどのような変換なのか（どのような変換を仮定するのか）ということです。ご自分で、いろいろな仮定を設定して考えてみて下さい。これは面白い問題だと思いますよ。

No.1 回答者： nabla 回答日時： 2006/08/18 18:15

証明すべき命題の意味がよく分からないので補足をお願いします。

rotやdivの定義が特定の座標系に依っていないことを示すんでしょうか？

この回答への補足

僕もよくわかっていないところがあるのですが、おそらくojisan7さんの仰るとおりです。

補足日時：2006/08/18 19:27