＜に似た記号

締切済

質問者：calcal40
質問日時：2006/09/29 14:15
回答数：9件

＜がつぶれた形というか、ひらがなの「く」のカーブを大げさに書いたような記号の意味がわかりません。ネットで調べると、「順序関係」というジャンルの記号らしいということまでわかったのですが、いまいち理解できないのです。どなたかご存知の方がいらっしゃいましたら、ぜひ教えてください！お願いします。

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回答 (9件)

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No.9

回答者： boiseweb
回答日時：2010/06/27 20:27

No.8の回答者です．補足します

「＜がつぶれた形」の記号を使う場面として考えられる場面として，No.8で想定したのは，「その文脈でひとつの順序関係が導入されていて，それを表すための記号として使われている」という場面でした．

そのほかに，この記号が使われる場面として，次の場面が考えられます．
「具体的な関係を特定せずに，何らかの（不特定の，抽象的な）関係を，順序関係であるという性質だけを前提として議論するときに，議論しようとする（不特定の）関係を表す記号として使う」
回答No.7は，おそらく，こちらの立場を想定しています．

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No.8

回答者： boiseweb
回答日時：2010/06/27 20:10

たぶん，この質問に対しての適切な答は，次のとおりです．

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「この記号が出てきたら必ず○○の意味である」という，世界共通のただひとつの「意味」なるものは，「＜がつぶれた形」の記号には備わっていない．その記号が文章のどこかに使われているとしたら，その文章の中の，それより前のどこかで，その記号を「その文章の中では」どういう意味で使うのかを宣言しているはずだ．
ただし，「＜がつぶれた形」の記号を使っているということから，その「宣言された意味」では，その記号は何らかの順序関係を表していると予想できる．しかし，実際にそれが順序関係であるかどうかは，「宣言された意味」が何かを知って，その内容を吟味してはじめて分かる．
========

数学の議論に現れる記号の中には，「どんな文脈でも同じきまった意味で使われる，共通性の高い記号」と「その文脈の中で意味が宣言されていて，その文脈の中でしか通用しない記号」の2種類があります．
高校までの数学で現れる記号は，ほとんど前者の類型に属します．だから，「この記号の意味は？」と尋ねられたら，たいていは，その記号に付随する『きまった意味』を答えることができます．
しかし，大学での数学では，しばしば後者の類型の記号が，文脈ごとに導入されます．導入するときには，必ず，その記号を初めて使う前に「この文章の中では記号●を○○という意味で使います」と宣言します．その宣言以後に記号●が現れたら，読者は宣言された意味に則って解釈して読み進めるのです．そして，そこで導入された記号●の「宣言された意味」は，その文章の中でだけ有効で，その文章を離れたところでは効力を持ちません．
「この文章の中では記号●を○○という意味で使います」という宣言のことを，（その文脈における）記号●の定義といいます．

ですから，もし，質問者さんがある本で「＜がつぶれた形」の記号を見つけて，「その本における」その記号の意味を知りたいのであれば，答は「その本の，あなたがその記号を見つけた位置よりも前に，その記号の定義が書かれているはずだから，定義を探して読みなさい」となります．その本を見ることができない人が，その記号のその本における定義が何かを教えることは不可能です．
そうでなくて，「＜がつぶれた形」の記号に，万人に認識された唯一共通の意味は定まっているか？というと，「否」です（少なくとも，私の知る限りは）．

とはいえ，数学の議論で「その文脈でだけ使われる記号」を導入することは頻繁にあって，その都度新しい形の記号を考案するのは困難です．そこで，数学の世界の習慣として，唯一共通の意味を持たず，使いたい人が「その文脈だけで使われる記号」として意味を宣言して使ってかまわない記号群が，暗黙の了解のもとに予約されているのです．

「＜がつぶれた形」の記号はそのひとつで，いろいろな人がいろいろな文脈で，それぞれに「その文脈における意味」を宣言（定義）したうえで使っています．

ただし，「＜がつぶれた形」は，見た人に「左が右より『小さい』」ことを連想させます．それゆえ，この記号は「何らかの意味で，左のものが右のものより『小さい』という関係を表す」すなわち「表す対象が何らかの『順序関係』である」ときに限って使うことが，やはり数学の世界での暗黙の了解となっています．ですから，ある文脈で「＜がつぶれた形」の記号が使われていたら，その記号は「たぶん，何らかの順序関係を表すものとして定義されているのだろう」と予想できます．しかし，それが順序関係であるかどうかは，その記号のその文脈における定義を見つけて，それが実際に順序関係であることを確認してはじめてわかることです（記号の形だけを根拠に「それは順序関係である」と判断することはできません）．

記号を使う人の立場では，「今述べているこの文脈での議論のためだけに，ひとつの順序関係を定めたい，そのための記号を決めたい」という場面で，新しい形の記号を考案する代わりに，「その文脈だけで使われる記号」の候補として予約されている記号群の中から，順序関係を表すという用途に適した「＜がつぶれた形」を選んで，「この文章では『＜がつぶれた形』の記号を○○という順序関係を表すために使います」と宣言したうえで使うのです．

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No.7

回答者： stomachman
回答日時：2006/10/06 03:17

まず、数学の用語としての「関係」という言葉について説明しなくちゃいけません。

a R b

という形に書いて、a,bの値によって(a R b)が「真」になったり「偽」になったりするもの。そういう R を「関係」と言います。（正確には「二項関係」です。）

　いろんな関係があります。例えば、

x ＞ 0 (xは0より大きい）
x ≠ y (xとyは異なる）
△ABC ≡ △DEF (△ABC と△DEF は合同）
△ABC ∽ △GHI (△ABC と△GHI は相似）
x ∝ y　（xはyに比例する）
x → 0 (xは0に収束する）
A ⊂ B （AはBの部分集合である）
x　∈ A (xはAの要素である）

これらの式に現れる＞, ≠, ≡, ∽, ∝, → , ⊂ , ∈ は、どれも関係です。

さて、「順序関係」とは、以下の性質を満たす関係「？」のことです。
(1) x ？ x
(2) (x ？ y　かつ y ？ x ) ならば　x = y
(3) (x ？ y　かつ y ？ z) ならば x ？ z

　いろんな関係が(1)(2)(3)を満たします。例えば、普通の数の大小関係 ≧ は順序関係です。実際に、上記の(1)(2)(3)の「？」のところに「≧」を代入してみれば、これらの性質が成り立つことが分かるでしょう。
　普通の数の大小関係≦と=も順序関係です。集合の包含関係 ⊂ も順序関係です。他にもいっぱいありますし、必要に応じて作りもします。そういうものをひっくるめて、とにかく(1)(2)(3)を満たすものなら何でも「順序関係」と呼ぶ。

　なぜそんな言葉があるのかというと、「どんな関係であれ、それが順序関係でありさえすれば成り立つような共通の性質」について論じるのに便利だからです。そういう性質をあらかじめ調べておきさえすれば（つまり、証明しておけば）、以後、どんな関係であれ、(1)(2)(3)を満たすなら自動的にその性質が成り立つことが分かる。

　ですから、「順序関係」という言葉が指すのは具体的な関係のことではない。上記の(1)(2)(3)の性質を満たすような関係ならなんでもいい。だから記号も何でもいい。特別な記号が決まっているわけじゃないんで、ここでは「？」を使った。それだけのことです。（しかし習慣的に、（抽象的な）順序関係を表すために、ご質問の記号や、その下に下線がついたものを使うことが多いです。）

　ついでに、順序関係のうち、特に(1)(2)(3)に加えて
(4) どんなx,yについても x ？ y　か　y ？ x
という性質も成り立つような関係を「全順序関係」と呼びます。普通の数の大小関係 ≧ と≦は全順序関係ですが、集合の包含関係 ⊂ は全順序関係ではありません。

　さらについでに、
(1) x ？ x
(2') x ？ y ならば y ？ x
(3) (x ？ y　かつ y ？ z) ならば x ？ z
の三つの性質を持つ関係を「同値関係」と言います。普通の数の大小関係=、合同関係≡、比例関係∝、相似関係∽はどれも同値関係です。