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|a|-|b|≦|a-b|の証明で、解答には

i)|a|-|b|<0,ii)|a|-|b|≧0に分けていましたが、どうしてそういうわけ方になるのでしょうか。
|a|-|b|≦|a-b|の証明もかねて、御回答くださればと思います

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A 回答 (4件)

|a-b| は絶対値なので必ず0以上です。


つまり |a|-|b|<0 であれば、必ず |a|-|b|<0≦|a-b| が成り立ちます。
逆に |a|-|b|≧0 のときはどちらが大きいか分かりません。
そういう意味で場合分けがされているのだと思います。

以下 |a|-|b|≧0 のときを考えます。
証明自体は両辺を2乗することが多いかと。
右辺の2乗
=|a-b|^2 (^は~乗の意味です)
=(a-b)^2 (絶対値の2乗は元の数の2乗と同じなので)
=a^2 - 2ab + b^2
左辺の2乗
=(|a|-|b|)*(|a|-|b|)
=|a|^2 - 2|a||b| + |b|^2 (ただ展開しただけ)
=a^2 - 2|a||b| + b^2

右辺の2乗から左辺の2乗を引くと、
(a^2 - 2ab + b^2) - (a^2 - 2|a||b| + b^2)
=2|a||b| - 2ab …☆
aとbの一方が0以上で他方が0未満なら、
2abが0以下になるので、☆は0以上です。
aとbが共に0以上か、共に0未満なら、
2abは0以上ですが、2|a||b|が2abと等しくなり、☆は0です。
どちらにしろ☆は0以上ということになります。

(|a-b|^2) - (|a|-|b|)^2 ≧ 0 より
(|a-b|^2) ≧ (|a|-|b|)^2
ところで |a|-|b|≧0 とし、元々 |a-b|≧0なので、
結局 |a-b| ≧ |a|-|b| となる、ということです。

実際の証明の場合は最後にhata3955jさんのおっしゃっていることを適用すればいいので、私のやり方であれば最後の"ところで~"の部分で場合分けすればよいです。
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両辺が正だとわかれば、A^2-B^2≧0のとき


A≧Bといえるから、左辺が負になる場合を排除
するためでしょう。
この場合、i)|a|-|b|<0のときは|a-b|≧0なので
明らかに成り立つから、両辺が正の場合のii)を
2乗の差で証明すればいいことになります。

|a-b|^2-(|a|-|b|)^2
=a^2-ab+b^2-a^2+2|ab|-b^2
=2(-ab+|ab|)≧0
なぜならば、|ab|≧ab
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両辺の大小をくらべるとき、片方が正、片方が負の場合は、くらべるまでもないですね。



また、両辺がどちらも正の場合は両辺を2乗してくらべたらOKですね。

これが、左辺を正と負に場合分けする理由です。


|a|-|b|≦|a-b|の右辺は0または正ですから、左辺が負のばあいは明らかに成立。したがって正の場合についてのみ吟味すればよい、ということです。


そのとき両辺を2乗しても大小関係は変わりませんから、実際に両辺を2乗して比較すれば容易に解けると思います。
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私は分け方なんて疑問に思わなかったな。


|a|-|b|<0,|a|-|b|≧0でも|a|-|b|>0,|a|-|b|≦0でも|a|-|b|<0,|a|-|b|=0,|a|-|b|>0でも同じことじゃないですか?
たまたまそういう教え方に統一されてしまってるとか。
で、この問題はa,bに実数を当てはめて考えてました。どんな数を当てはめても|a|-|b|≦|a-b|は成立するのです。
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Aベストアンサー

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素SiO2の場合も
Si原子とO原子が共有結合し、この結合が立体的に繰り返されて
共有結合の物質というものをつくっているのです。
参考書の表現が少しまずかったのですね。
tomasinoさんの言うとおり、二酸化ケイ素も共有結合の結晶の1つです。

下に共有結合の結晶として有名なものを挙げておきます。

●ダイヤモンドC
C原子の4個の価電子が次々に4個の他のC原子と共有結合して
正四面体状に次々と結合した立体構造を持つのです。
●黒鉛C
C原子の4個の価電子のうち3個が次々に他のC原子と共有結合して
正六角形の網目状平面構造をつくり、それが重なり合っています。
共有結合に使われていない残りの価電子は結晶内を動くことが可能なため、
黒鉛は電気伝導性があります。
(多分この2つは教科書にも載っているでしょう。)
●ケイ素Si
●炭化ケイ素SiC
●二酸化ケイ素SiO2

私の先生曰く、これだけ覚えていればいいそうです。
共有結合の結晶は特徴と例を覚えておけば大丈夫ですよ。
頑張って下さいね♪

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素Si...続きを読む

Qlim[n→∞](1-1/n)^n=1/e について

こんにちは

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Q絶対値を含む不等式の証明(2)

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ご教授ください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

たびたび失礼します。

> =-2pq-2|p||q|
> =-2(pq+|p||q|)>=0・・・・(*) 
この部分、
=-2pq-2|p||q|
=-2(pq+|p||q|)<=0・・・・(*) 
の間違いですね。
考え方は大丈夫だと思いますよ。

ただ、失礼ですが、ちょっと解答の書き方も勉強された方がよろしいですね。
ちょっとおこがましいですが、模範的な解答例です。
------------------------------------------------------------------
【問】a,b,cを実数とするとき、不等式|a-b|<=|a-c|+|b-c|を証明しなさい。

【解答その1】(|a-b|<=|a|+|b| が既知でないとします。)
a-c=p, b-c=q とおくと
a-b=(a-c)-(b-c)=p-q …(*)となるので、
与式:|a-b|<=|a-c|+|b-c|
を証明するには
|p-q|<=|p|+|q| …(1)
を証明すればよい。(∵(1) は、与式にa-c=p, b-c=q を代入したもの)
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=p^2+2|pq|+q^2 -(p^2-2pq+q^2) = 2(|pq|+pq) >= 0 (∵|pq|>=pq)
∴|p-q|^2 <= (|p|+|q|)^2
よって、|p-q|>=0, |p|+|q|>=0 なので (1)も成り立つ。
従って、与式:|a-b|<=|a-c|+|b-c| も成り立つ。
等号は pq<=0 のとき成り立つ。
pq<=0 すなわち (a-c)(b-c)<=0 のとき
「a-c<=0 かつ b-c>=0」または、「a-c>=0 かつ b-c<=0」
前者の場合 a<=c かつ b>=c より、 a<=c<=b
後者の場合 a>=c かつ b<=c より、 b<=c<=a
よって等号成立条件は、a<=c<=b または、b<=c<=aの関係を満たすとき、である。
<証明終>

【解答その2】(問1で、|a-b|<=|a|+|b| を証明(既知であると)し、本問が問2であったような場合とします。)
a-c=p, b-c=q とおくと
a-b=(a-c)-(b-c)=p-q …(*)となるので、
与式:|a-b|<=|a-c|+|b-c| は、
|p-q|<=|p|+|q| …(1)
となる。問1の結果より、(1)は証明されているので
与式:|a-b|<=|a-c|+|b-c|も成り立つ。
(以下、等号成立条件はその1と同じ) <証明終>
------------------------------------------------------------------
ま、こんな感じでしょうか。
あとは、慣れです。

たびたび失礼します。

> =-2pq-2|p||q|
> =-2(pq+|p||q|)>=0・・・・(*) 
この部分、
=-2pq-2|p||q|
=-2(pq+|p||q|)<=0・・・・(*) 
の間違いですね。
考え方は大丈夫だと思いますよ。

ただ、失礼ですが、ちょっと解答の書き方も勉強された方がよろしいですね。
ちょっとおこがましいですが、模範的な解答例です。
------------------------------------------------------------------
【問】a,b,cを実数とするとき、不等式|a-b|<=|a-c|+|b-c|を証明しなさい。

【解答その1】(|...続きを読む

Q(数研出版、数ii)教科書の章末問題の解答解説がのっているサイトはありますか? 教科書は、解答しか載

(数研出版、数ii)教科書の章末問題の解答解説がのっているサイトはありますか?
教科書は、解答しか載っていないので、少し難しい問題があって困っています。

Aベストアンサー

教科書ガイドによって違います。買う予定であれば、とりあえず本屋さんに行って教科書ガイドを手に取って中を見るべきです。

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
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(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q進研模試の過去問を手に入れたいのですが・・・。

単刀直入ですが,進研模試の対策をするために,進研模試の過去問を手に入れたいのですが,学校や塾の先生に頼む他に何か入手する方法はないのでしょうか? 勉強がしっかり出来ているかどうかの確認をするためには進研模試を解くのが,レベル的にも難しすぎず簡単すぎず,良いと言われたので,何回分かの進研模試を解いてみたいと思い,このような質問をするに至ったのです。ご回答,よろしくお願いします。

Aベストアンサー

模試の対策をする必要はありません。
普段の勉強の成果を確認するための物ですから。
対策の結果、実力以上の点が出てしまえば、かえって実力が見えなくなります。

適切なレベルの物で勉強したい、というのは伝わります。
しかし模試は模試。
最適な教材になるとは思えませんし、なるようなら進研がとっくに発売していますし、進研ゼミなどとっくにやめているでしょう。

書店に行っても教材が多すぎると言いますが、自分の学力が把握できればおそらくそれでかなり絞れるはずです。
それも判らなければ、基礎的な薄い物をやってみて、その感触で量るのが良いでしょう。
また、色々な教材を良く眺めてみるいうのも良い勉強です。
根性決めて書店に「通って」ください。
進研の模試もそうですが、教材には相性やレベルがあります。
進研の問題は確かに基礎的な良問であるような気はしますが、だからと言って、あなたがそれで勉強できるかどうかは判りません。
もっと基礎が抜けているのかも知れないし、そんな問題では簡単すぎるのかも知れません。
それはどの教材であってもそうです。

基礎ができていないのなら基礎、入試標準レベルのところでつっかえているのならそれ、と今自分が何をすべきか、で決めて、それをさっさと終えてください。
最後までそれだけでやり通そうとするから基礎から応用まで、なんて事を言うんです。
そもそも化物に至っては、教科書をきちんと読んでいるのか。理解できるよう読んでいるのか。なんて事が第一です。
その上で参考書、です。
物理は、一読しただけではさっぱり判らなくて当然です。
何度も教科書や参考書を読み、基礎問題を解き、解らなくなってまた教科書参考書に戻る、の繰り返しです。しつこくしつこく。
天才を除けば根負けするかどうかの科目だと思っています。

単語帳は相性次第です。
前書きからしっかり立ち読みし、相性が良さそうな物を選んでください。
当面センターレベルで良いので、さっさと終わらせることです。
現代文は、出口、田村、板野、河合の入試現代文へのアクセス、辺りを。これも前書きからしっかり読んで、やり方を把握したり指示に従ったりしましょう。
古典は知りません。
理系なら、二次私大でで国語を使うのかどうかでどこまでやるかが変わると思います。
あなたなら、伊藤さんの「ビジュアル英文解釈」ができると思います。
最初は易しいですが、最後までやり通したり、その後の「英文解釈教室」まで行けば大した物だと思います。

模試の対策をする必要はありません。
普段の勉強の成果を確認するための物ですから。
対策の結果、実力以上の点が出てしまえば、かえって実力が見えなくなります。

適切なレベルの物で勉強したい、というのは伝わります。
しかし模試は模試。
最適な教材になるとは思えませんし、なるようなら進研がとっくに発売していますし、進研ゼミなどとっくにやめているでしょう。

書店に行っても教材が多すぎると言いますが、自分の学力が把握できればおそらくそれでかなり絞れるはずです。
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