不等式の問題で

Question

不等式の証明問題を解答するときに、
「ただし、等号が成り立つのは～のときである。」
という文句をつけなければいけないのはなぜですか？

lick6 · Accepted Answer

4 ≧ 1 「４は１以上である」というのは正しい記述ですよね。
しかし、等号成立を言わなければ正確には「＝」ではありませんよね。
だから等号成立を言って初めて「＝」も成り立つことがいえるのです。

y_akkie · Answer

入試問題などで、不等式の問題を証明される場合は、次の問題でその等号成立条件を利用して、最大値・最小値を求めさせるといったパターンの出題が多いです。すなわち、不等式の証明問題は次の問題への誘導を目的として出題される事が多いという事です。
よって、日ごろから等号成立条件を意識しながら不等式の証明をする事は非常に重要なので、そうした意図から特に指定がなくてもきちんと記述させるような習慣を身につけさせているんでしょうね…。だが、#6さんがおっしゃるように、入試問題ではたいがい、等号成立条件を記述するように指定されています。また、最大・最小を求める問題でも、入試問題では、「最大値とそのときのｘの値を求めよ」といった形で記載されているのが普通ですが、教科書の問題などでは、「最大値を求めよ」としか書かれていない事が多いです。
そういえば、自分が高校の時、数学の教師からそのような問題でもきちんと「ｘ＝○○のとき、最大値○」と書けと口すっぱく言われていた記憶があります。（減点にまではされなかったものの解答欄にきちんと書けと、赤字で注意書きをされた事があります。これはあくまでの自分の高校での話ですが…。）

mis_take · Answer

もし，f(x)≧a の証明で，f(x)＝a になるxがある（aが最小値）ことを示さなければならないとしたら
f(x)＞a の証明で，いくらでもaに近くなるxがある（aが下限）ことを示さなければならないでしょうね。

そういう場合もありますが，ふつうはそこまで要求しません。
要は，その不等式をその後どのように利用するのかによって違います。

hiccup · Answer

等号が成立すれば、少なくともあまい評価ではないといえるでしょう。
定数で評価することは対象の取りうる範囲を絞り込むことになるわけですし、等号が成立すればそれは最大値や最小値の存在をいえ、さらにどういうときにそこに達するかを知ることができたら、対象が持つ特徴のひとつを明確に押さえたことになります。
関数を関数で評価する場合も、鋭ければ鋭いほど良いと思います。等号成立は、鋭さの目安のひとつでしょう。

larme001 · Answer

等式が成立するときを言わなくてはいけないのは、最大、最小値を求めるときです。
たとえば、-5≦f(x)という不等式が計算で出たからといって、
よって、f(x)の最小値は-5とは厳密にはいえません。f(x)=-5を確かに満たす必要があります。たとえばf(x)=x^2なんかだと上の不等式は正しいですが、最小値は0ですよね。

不等式の証明問題の場合もにていますが、少し状況が異なります。
たとえば、-1≦cosθを証明しろという出題とします。
この場合、cosθが常に-1以上であることが確かであればいいので、仮に0≦cosθがいえれば、当然-1＜0≦cosですから、証明したことになります。よって、等号が成立するかどうかは関係ありません。

ただし、不等式のからむ証明問題でも
００を満たすのは-1≦cosθのときであることをしめせ、のような問題の場合は、条件が-1≦cosθであることを示さなくてはいけないので、このままの形で証明される必要があります。

kkkk2222 · Answer

（１）Ａ＾２＋Ｂ＾２≧２ＡＢを証明せよ。また等号条件も求めよ。
（２）Ａ＾２＋Ｂ＾２≧２ＡＢを証明せよ。

厳密言うと
（２）では、等号条件は求めなくとも正解です。

しかし数学の証明では
（２）は（１）の省略形として使用される習慣があります。
教科書ですら、省略形で記述されている箇所が多々あります。

定期試験や入学試験では、混同を防ぐために、
必ず（１）で書かれます。
ーーーー

数学の教師は、
（２）で書かれていても（１）として処理するよう指導します。
ーーーー

私もこの事については、不満に思っています。
（２）で書かれているのに、等号条件が書いてないと　減点されたら、頭にきます。
ーーーー

take_5 · Answer

(1)x＞1　　　(2)x≧1　　とします。
(1)と(2)の異なるところは、等号です。

(2)はxの最小値が1であり、(1)は最小値がない事(xが1にはなりえない事)をあらわしています。

mis_take · Answer

「ただし、等号が成り立つのは～のときである。」
を必ず断らなくてはいけないということはありません。

x^2≧-1 も正しい不等式であり，等号は成り立ちません。
ただし，x^2が取り得る値の範囲ということであれば，x^2≧0 であり，等号が成りたつことがあることを示さないといけません。

なお，相加平均と相乗平均の関係
{a+b}/2≧√{ab}
において
「ただし，等号が成り立つのは a=b のときである」…(1)
 と書くのは間違いです。
a=b のとき等号が成り立つのは当たり前だからです。
正しくは
「ただし，等号が成り立つのは a=b のときに限る」…(2)
または
「ただし，等号が成り立つのは a=b のとき，かつそのときに限る」…(3)
です。
記号を使って書くと
(1)は a=b → {a+b}/2≧√{ab}
であり
(2)は {a+b}/2≧√{ab} → a=b
(3)は {a+b}/2≧√{ab} ⇔ a=b
です。

noname#31741 · Answer

それは、意味があるとすれば「先生達解答する人が楽になるようにするためです。」
別に色々書き方はありますが、それを良いことにすると、田舎とか方言等入って、ゼミ等答えあわせするのが邪魔くさいんですよ。　
何か、標準語で統一すればそれで合否が決定するんで。

不等式を今してるならまだまだそんなのでてきますよ。

hkd9001 · Answer

こんばんは。

…なるほど。
たぶん、私が思いますに「等号が成り立つ点」というのは数学上、重要な意味（境界線とか解の個数の別れ目とか）を持っている場合が多いので、それで…。当たらずとも遠からず？

不等式の問題で

4 ≧ 1 「４は１以上である」というのは正しい記述ですよね。

入試問題などで、不等式の問題を証明される場合は、次の問題でその等号成立条件を利用して、最大値・最小値を求めさせるといったパターンの出題が多いです。

この回答への補足

もし，f(x)≧a の証明で，f(x)＝a になるxがある（aが最小値）ことを示さなければならないとしたら

等号が成立すれば、少なくともあまい評価ではないといえるでしょう。

等式が成立するときを言わなくてはいけないのは、最大、最小値を求めるときです。

（１）Ａ＾２＋Ｂ＾２≧２ＡＢを証明せよ。

(1)x＞1 (2)x≧1 とします。

「ただし、等号が成り立つのは～のときである。

それは、意味があるとすれば「先生達解答する人が楽になるようにするためです。

こんばんは。

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(1)x＞1　　　(2)x≧1　　とします。