急いでいます 数学の問題

nを自然数とするとき、次の不等式を数学的帰納法によって証明せよ。

1/1·2＋1/3·4＋1/5·6＋･･････＋1/(2n-1)·2n≦3/4－1/4n

わからないのでよろしくおねがいします。

No.2 ベストアンサー 回答者： スチールウール 回答日時： 2015/11/24 23:53

分数を記述するときは、なるべく分母をカッコで括る方が良いです

1/1・2 は普通2になります

自然数を0を含まない正の整数と定義する

1/(1·2)＋1/(3·4)＋1/(5·6)＋･･････＋1/{(2n-1)·2n} + 1/(4n) ≦ 3/4
を証明します。そこからの式変形のほうが楽でしょうから

(i)n=1の時
1/2 + 1/4 = 3/4
となり成り立つ

(ii)n=kの時成り立つとすると
1/(1·2)＋1/(3·4)＋1/(5·6)＋･･････＋1/{(2k-1)·2k} + 1/{2(k+1)(2k+1)} + 1/(4k+1)
= 1/(1·2)＋1/(3·4)＋1/(5·6)＋･･････＋1/{(2k-1)·2k} + 1/(4k) -1/(4k)+ 1/{2(k+1)(2k+1)} + 1/{4(k+1)}
≦ 3/4 -1/(4k)+ 1/{2(k+1)(2k+1)} + 1/{4(k+1)}
= 3/4 -1/(4k)+ (2k+3)/{4(k+1)(2k+1)}
3/4以外の項を計算するとマイナスになるので
3/4 -1/(4k)+ (2k+3)/{4(k+1)(2k+1)}≦3/4
よって、n=k+1の時も成り立つ

i), ii)より
1/(1·2)＋1/(3·4)＋1/(5·6)＋･･････＋1/{(2n-1)·2n} + 1/(4n) ≦ 3/4
が成り立つ。ゆえに
1/(1·2)＋1/(3·4)＋1/(5·6)＋･･････＋1/{(2n-1)·2n} ≦ 3/4 - 1/(4n)
も全ての自然数nに対して成り立つ。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/11/24 23:52

どこまでできていますか? どこでわからなくなったのですか?