No.1
- 回答日時:
不等式の右辺=2n/n+1のnにk+1を代入してみて下さい。
次は、2k+1/k+1-2(k+1)/k+2>0を証明するのだと思いますが。。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1+1/2+…+1/k+1/k+1>2k/k+1+1/k+1) の右辺は計算のために
このような変形をしているだけでn=k+1の式ではないので、
ここで勘違いをしてませんか?
一応証明をひととおり書いておきます。
(説明のため余計なことを書いたり、省略したりしてあります)
【証明】
i)n=2のとき
(省略)
成り立つ。
ii)n=kのときすなわち
1+1/2+1/3+…+1/k > 2k/(k+1)
のとき成り立つと「仮定する」。
(この時点では上の式が本当に正しいかは分からないが正しいと「仮定」する。)
このときn=k+1すなわち
1+1/2+1/3+…+1/(k+1) > 2(k+1)/((k+1)+1)
=2(k+1)/(k+2)
が成り立つことを以下で示す。
(こちらの式はまだ正しいか分からない)
n=k+1のときの右辺は
1+1/2+1/3+…+ 1/k + 1/(k+1)
と書ける。これはn=kの右辺に1/(k+1)を足したものである。
そこで、n=kの左辺にも同じ数1/(k+1)を足す。
2k/(k+1)+1/(k+1) = (2k+1)/(k+1)
よって
(1+1/2+…+1/k) + 1/(k+1) > (2k+1)/(k+1)
が得られる。
(n=kの式の両辺に1/(k+1)を足した式。両辺に同じ数字を足しているから大小関係は崩れない)
この得られた式とn=k+1のときの左辺との大小関係を調べるために差をとると
(2k+1)/(k+1) - 2(k+1)/(k+2) = (計算省略) > 0
よって
(2k+1)/(k+1) > 2(k+1)/(k+2)
左辺と合わせて
(1+1/2+…+1/k) + 1/(k+1) > 2(k+1)/(k+2)
が得られる。
よってn=k+1のとき成り立つ。
i、iiが成り立っているからすべてのnについて成り立つ。
【証明終了】
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 上三角行列のn乗の証明 2 2023/07/23 21:45
- 数学 『数学的帰納法のトリセツ』 4 2022/06/06 07:34
- 数学 数学の解法について こんばんは。最近数学の問題を解いています。証明問題を解いたのですが、解答とアプロ 4 2022/09/11 23:22
- 数学 数学的帰納法 添付の一般項を求める問題なのですが、 赤線の部分でn=k+1としています。 そしてa( 1 2022/10/22 15:29
- 数学 数学的帰納法の質問です。 n=1、k,k+1のときすべての自然数nが成り立つという証明で、なぜ、n= 7 2023/07/02 11:59
- 統計学 t統計量とF統計量について 9 2023/01/05 14:23
- 数学 『◯と●の帰納法』 2 2023/04/19 20:57
- 数学 全ての自然数nに対して「2^3n−3^n」は5の倍数であることを数学的帰納法で証明 写真の解法は合っ 2 2023/06/18 00:30
- 数学 1^2+2^2+…+n^2<(n+1)^3/3を数学的帰納法を用いて証明してください。解法を見てもよ 5 2023/06/14 17:11
- 数学 某大学の数学入試問題で、フェルマーの定理絡みの問いがありました。 9 2023/02/14 08:35
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
nの階乗と2のn乗の比較
-
無理数から無理数を引いた結果...
-
||a+b|| ≦ ||a|| +||b||の証明
-
数学Ⅱ 不等式の証明問、3(a∧2+b...
-
数Bの問題です。
-
証明が合っているかどうか?
-
0は無理数ですか?
-
数学的帰納法の不等式について...
-
不等式の証明(テイラー展開)
-
相加相乗平均の拡張、条件をゆ...
-
4STEPII+B(数研出版)をお持ち...
-
数II a^2−ab+b^2≧a+b−1の不等式...
-
数列の数学的帰納法の基本的な...
-
(b+c)(c+a)(a+b)≧8abc
-
対偶による証明
-
相加平均と相乗平均の関係の意味
-
次の曲線と2直線及びx軸で 囲ま...
-
何時間 何分 何秒を記号で表...
-
鋼材について
-
数学のハット、キャレットの意...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
nの階乗と2のn乗の比較
-
(b+c)(c+a)(a+b)≧8abc
-
数II a^2−ab+b^2≧a+b−1の不等式...
-
||a+b|| ≦ ||a|| +||b||の証明
-
(n!)^2≧n^n(nは自然数)
-
部分分数分解について。 1/a・b ...
-
なぜ等号は常に成り立たないの...
-
(1+h)^n≧1+nh+{n(n-1)/2}h^2
-
数学の証明問題なんですが…
-
「次の不等式を証明せよりまた...
-
無理数から無理数を引いた結果...
-
絶対値の不等式の証明ができません
-
√2,√3,√5,√6,√7,√10は有理数体...
-
証明が合っているかどうか?
-
数学Ⅱ 不等式の証明問、3(a∧2+b...
-
相加・相乗平均は最小値を示す...
-
複素数、共役複素数の証明
-
数学的帰納法の問題
-
十分性の確認の問題について
-
数学的帰納法の証明2
おすすめ情報