No.6ベストアンサー
- 回答日時:
7を法とする合同式で考える方法はいかがでしょうか。
19^n + (-1)^(n-1)*2^(4n-3)
=19^n + (-1)^(n-1)*16^n/8
=19^n + 2*(-16)^(n-1)
=(21-2)^n + 2*(-14-2)^(n-1)
≡(-2)^n + 2*(-2)^(n-1) (mod 7)
=(-2)^n-(-2)^n
=0
∴ 19^n + (-1)^(n-1)*2^(4n-3) は素数7で割り切れる。
No.9
- 回答日時:
こんなのはどうでしょうか。
a(n)=19^n + (-1)^(n-1) * 2^(4n-3) とおくと、
a(n)=(21-2)*19^(n-1) +(-1)^(n-1) *2*2^(4n-4)
=21*19^(n-1) -2*19^(n-1) +2* (-1)^(n-1) *(2^4)^(n-1)
=21*19^(n-1) -2*19^(n-1) +2*(-16)^(n-1)
=21*19^(n-1) -2*{19^(n-1)-(-16)^(n-1)}
ここで、n≧2のとき、
19^(n-1)-(-16)^(n-1)
={19-(-16)}*Σ[k=0 to (n-2)]{19^k *(-16)^(n-2-k)}
=35*Σ[k=0 to (n-2)]{19^k *(-16)^(n-2-k)}
なので、
a(n)=21*19^(n-1) -2*35*Σ[k=0 to (n-2)]{19^k *(-16)^(n-2-k)}
=7*{ 3*19^(n-1) -10*Σ[k=0 to (n-2)]{19^k *(-16)^(n-2-k)} }
また、n=1のとき
a(1)=21=7*3
よって、任意の自然数nについて、a(n)は7で割り切れる。
No.8
- 回答日時:
19^n=(21-2)^n=21*A+(-2)^n
(-2)^n+(-1)^(n-1)*2^(4n-3)
=(-2)^n*(1-2^(3n-3))
=(-2)^n*(1-8^(n-1))
=(-2)^n*(1-(7+1)^(n-1))
=(-2)^n*(1-7*B-1)
=-7*B*(-2)^n
与式=21*A-7*B*(-2)^n=7*C
こんなのでどうでしょう。
2項展開の一般式は使っています。
ん。これけっこう難しいですね。
すぐには理解できませんでしたが、少ない行数で証明することが出来るのですね。
ありがとうございました
No.7
- 回答日時:
今ざっと計算してみました。
この方法で証明できる確証はありませんが、参考程度に。
数学的帰納法を使います。数列はa(n)とします。
n = 1 のとき、a(1) = 21 なので7で割り切れます。
n ≧ 2 の時、a(n+1) - a(n) が7で割り切れることを示します。
天下り的に「7で割り切れるはずだ」という方針で行くなら合同式で変形し、a(n+1) - a(n) ≡ 0 (mod7) を示せばいいはずです。
合同式の性質として、「累乗は多くても(mod-1)回でループになる」というものがあります。今回はmod7なので、多くとも6回以内にループするはずです。
計算したら19^n(≡5^n)は6回でループ、(-1)^nは2回でループ、2^4n(=16^n≡2^n)は3回でループしました。よってa(n+1) - a(n) ≡ a(n+7) - a(n+6) (mod7) が成り立ちます。
ということは、nの値が「6の倍数」「6の倍数+1」「6の倍数+2」…「6の倍数+5」の6通りを計算して、全部≡0になれば証明できたことになる…はずです。
かなり力づくな解法なので、作為解ではないと思います。
a^p - a は p で割り切れるという公式を使った証明は僕には分かりません…もっとエレガントな解法があるのでしょうか。
No.5
- 回答日時:
それを無理に使いたいなら n = 1~6 まで努力と根性で試して, あとは
(n のとき) - (n-6 のとき)
を考えるんだろうが... そもそも「大学受験」で
「a^p - a は p で割り切れる」
ことを使っていいのか?
実はこの問題小説にのってまして、
参考文献的なところをみるとに国立大学入試に出たらしいのです。
で、小説の主人公が
「a^p - a は p で割り切れる」
を使って解けばいいということを言っていたので、質問しました。
数学的帰納法で解く方法はなんとかわかったんですけど。
回答ありがとうございました
No.4
- 回答日時:
n=1のとき与式=19+2=21なので、その素因数は3と7です。
n=kのとき与式が7の倍数であるとすると、
19^k+(-1)^(k-1)*2^(4k-3)=7m
と表され、(-1)^(k-1)*2^(4k-3)=rとおくと
19^k+r=7mと表されます。・・・(1)
一方n=k+1のとき与式は
19^(k+1)+(-1)^(k)*2^(4k+1)=19^(k+1)-16r
と表されます。・・・(2)
(1)より 19^k=7m-r なので 19^(k+1)=19*7m-19r
です。これを(2)に代入すると与式の値は
19^(k+1)-16r=19*7m-35r
=7(19m-5r)
吟味は必要かもしれませんが、方法としてはこれでいけるのではないでしょうか?
3で割りきれるかどうかはn=kの時の与式の値を3pとおくとn=k+1のときの
与式の値は19*3p-35rとなりますがrの素因数は2のみなので、与式は3で
割りきれないことが示せると思います。
No.3
- 回答日時:
> a^p - a は p で割り切れるという公式を使って証明をするのですが、
この公式を使わなくても数学的帰納法で示せそうです。
19^k + {(-1)^(k-1)}{2^(4k-3)}が7の倍数と仮定し、
19^(k+1) + {(-1)^k}{2^(4n+1)}が7の倍数である事を示してみます。
19^k + {(-1)^(k-1)}{2^(4k-3)} = 7mとおき、両辺を19倍すると
19^(k+1) + 19{(-1)^(k-1)}{2^(4k-3)} = 19・7m … (1)
これで19^(k+1)が作れました。あとは{(-1)^k}{2^(4n+1)}を作るために、
19{(-1)^(k-1)}{2^(4k-3)}の項を次のように変形します。
19 = (-1)・2^4 + 35なので
19{(-1)^(k-1)}{2^(4k-3)}
= {(-1)・2^4 + 35}・{(-1)^(k-1)}{2^(4k-3)}
= {(-1)^k}{2^(4n+1)} + 35{(-1)^(k-1)}{2^(4k-3)}
これで無理矢理{(-1)^k}{2^(4n+1)}を作りだしました。
この結果を(1)に代入すると
19^(k+1) + 19{(-1)^(k-1)}{2^(4k-3)} = 19・7m
19^(k+1) + {(-1)^k}{2^(4n+1)} + 35{(-1)^(k-1)}{2^(4k-3)} = 19・7m
これで左辺に作りたかった19^(k+1) + {(-1)^k}{2^(4n+1)}が揃いました。
後は余分な項を右辺に移すと
19^(k+1) + {(-1)^k}{2^(4n+1)} = 19・7m - 35{(-1)^(k-1)}{2^(4k-3)}
ここで右辺は7で因数分解できるので、
19^(k+1) + {(-1)^k}{2^(4n+1)} = 7[19m - 5{(-1)^(k-1)}{2^(4k-3)}]
よって19^(k+1) + {(-1)^k}{2^(4n+1)} も7の倍数となりました。
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