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文字は正とする。  
(b+c)(c+a)(a+b)≧8abc
の証明をどうか教えていただけますようお願いいたします。

A 回答 (2件)

a>0、b>0、c>0より相加平均相乗平均から、



a+b≧2√(ab)>0
b+c≧2√(bc)>0
c+a≧2√(ca)>0

これら皆正であるから、辺々掛け合わせて、
(a+b)(b+c)(c+a)≧8√(a^2・b^2・c^2)=8abc。
つまり(a+b)(b+c)(c+a)≧8abc。
等号が成り立つ場合は、a=b,b=c,c=aよりa=b=cの時

だったと思います。各々の文字が正でないと相加相乗は使えないことに注意ですね
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この回答へのお礼

ありがとうございます。よく分かりました。

お礼日時:2012/05/26 00:37

(b+c)(c+a)(a+b)≧8abc の証明のA#1の別解


(左辺)-(右辺)=(b+c)(c+a)(a+b)-8abc
=a(b-c)^2+b(c-a)^2 +c(a-b)^2≧0 (∵a,b,c>0)
(等号はa=b=cのとき成立)
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この回答へのお礼

すばらしい解法をありがとうございました。

お礼日時:2012/05/26 22:42

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Q|a|-|b|≦|a-b|の証明の仕方

|a|-|b|≦|a-b|の証明で、解答には

i)|a|-|b|<0,ii)|a|-|b|≧0に分けていましたが、どうしてそういうわけ方になるのでしょうか。
|a|-|b|≦|a-b|の証明もかねて、御回答くださればと思います

Aベストアンサー

|a-b| は絶対値なので必ず0以上です。
つまり |a|-|b|<0 であれば、必ず |a|-|b|<0≦|a-b| が成り立ちます。
逆に |a|-|b|≧0 のときはどちらが大きいか分かりません。
そういう意味で場合分けがされているのだと思います。

以下 |a|-|b|≧0 のときを考えます。
証明自体は両辺を2乗することが多いかと。
右辺の2乗
=|a-b|^2 (^は~乗の意味です)
=(a-b)^2 (絶対値の2乗は元の数の2乗と同じなので)
=a^2 - 2ab + b^2
左辺の2乗
=(|a|-|b|)*(|a|-|b|)
=|a|^2 - 2|a||b| + |b|^2 (ただ展開しただけ)
=a^2 - 2|a||b| + b^2

右辺の2乗から左辺の2乗を引くと、
(a^2 - 2ab + b^2) - (a^2 - 2|a||b| + b^2)
=2|a||b| - 2ab …☆
aとbの一方が0以上で他方が0未満なら、
2abが0以下になるので、☆は0以上です。
aとbが共に0以上か、共に0未満なら、
2abは0以上ですが、2|a||b|が2abと等しくなり、☆は0です。
どちらにしろ☆は0以上ということになります。

(|a-b|^2) - (|a|-|b|)^2 ≧ 0 より
(|a-b|^2) ≧ (|a|-|b|)^2
ところで |a|-|b|≧0 とし、元々 |a-b|≧0なので、
結局 |a-b| ≧ |a|-|b| となる、ということです。

実際の証明の場合は最後にhata3955jさんのおっしゃっていることを適用すればいいので、私のやり方であれば最後の"ところで~"の部分で場合分けすればよいです。

|a-b| は絶対値なので必ず0以上です。
つまり |a|-|b|<0 であれば、必ず |a|-|b|<0≦|a-b| が成り立ちます。
逆に |a|-|b|≧0 のときはどちらが大きいか分かりません。
そういう意味で場合分けがされているのだと思います。

以下 |a|-|b|≧0 のときを考えます。
証明自体は両辺を2乗することが多いかと。
右辺の2乗
=|a-b|^2 (^は~乗の意味です)
=(a-b)^2 (絶対値の2乗は元の数の2乗と同じなので)
=a^2 - 2ab + b^2
左辺の2乗
=(|a|-|b|)*(|a|-|b|)
=|a|^2 - 2|a||b| + |b|^2 (ただ展...続きを読む

Q(a+b)(b+c)(c+a)+abcの因数分解

高校1年生になった娘から、数学の宿題を教えてと言われましたが、分かませんでした。どなたか教えていただけませんか?

問 (a+b)(b+c)(c+a)+abcを因数分解せよ。

Aベストアンサー

必要な程度展開する→1つの文字に着目して降べきの順に整理する が基本です。
(a+b)(b+c)(c+a)+abc
aについてまとめるためaが含まれる部分だけ展開
=(b+c){a^2+(b+c)a+bc}+abc
=(b+c)a^2+{(b+c)^2+bc}a+bc(b+c)
=(b+c)a^2+(b^2+3bc+c^2)a+bc(b+c)
たすきがけを行い
={(b+c)a+bc}{a+(b+c)}
=(a+b+c)(ab+bc+ca)

Q進研模試の過去問を手に入れたいのですが・・・。

単刀直入ですが,進研模試の対策をするために,進研模試の過去問を手に入れたいのですが,学校や塾の先生に頼む他に何か入手する方法はないのでしょうか? 勉強がしっかり出来ているかどうかの確認をするためには進研模試を解くのが,レベル的にも難しすぎず簡単すぎず,良いと言われたので,何回分かの進研模試を解いてみたいと思い,このような質問をするに至ったのです。ご回答,よろしくお願いします。

Aベストアンサー

模試の対策をする必要はありません。
普段の勉強の成果を確認するための物ですから。
対策の結果、実力以上の点が出てしまえば、かえって実力が見えなくなります。

適切なレベルの物で勉強したい、というのは伝わります。
しかし模試は模試。
最適な教材になるとは思えませんし、なるようなら進研がとっくに発売していますし、進研ゼミなどとっくにやめているでしょう。

書店に行っても教材が多すぎると言いますが、自分の学力が把握できればおそらくそれでかなり絞れるはずです。
それも判らなければ、基礎的な薄い物をやってみて、その感触で量るのが良いでしょう。
また、色々な教材を良く眺めてみるいうのも良い勉強です。
根性決めて書店に「通って」ください。
進研の模試もそうですが、教材には相性やレベルがあります。
進研の問題は確かに基礎的な良問であるような気はしますが、だからと言って、あなたがそれで勉強できるかどうかは判りません。
もっと基礎が抜けているのかも知れないし、そんな問題では簡単すぎるのかも知れません。
それはどの教材であってもそうです。

基礎ができていないのなら基礎、入試標準レベルのところでつっかえているのならそれ、と今自分が何をすべきか、で決めて、それをさっさと終えてください。
最後までそれだけでやり通そうとするから基礎から応用まで、なんて事を言うんです。
そもそも化物に至っては、教科書をきちんと読んでいるのか。理解できるよう読んでいるのか。なんて事が第一です。
その上で参考書、です。
物理は、一読しただけではさっぱり判らなくて当然です。
何度も教科書や参考書を読み、基礎問題を解き、解らなくなってまた教科書参考書に戻る、の繰り返しです。しつこくしつこく。
天才を除けば根負けするかどうかの科目だと思っています。

単語帳は相性次第です。
前書きからしっかり立ち読みし、相性が良さそうな物を選んでください。
当面センターレベルで良いので、さっさと終わらせることです。
現代文は、出口、田村、板野、河合の入試現代文へのアクセス、辺りを。これも前書きからしっかり読んで、やり方を把握したり指示に従ったりしましょう。
古典は知りません。
理系なら、二次私大でで国語を使うのかどうかでどこまでやるかが変わると思います。
あなたなら、伊藤さんの「ビジュアル英文解釈」ができると思います。
最初は易しいですが、最後までやり通したり、その後の「英文解釈教室」まで行けば大した物だと思います。

模試の対策をする必要はありません。
普段の勉強の成果を確認するための物ですから。
対策の結果、実力以上の点が出てしまえば、かえって実力が見えなくなります。

適切なレベルの物で勉強したい、というのは伝わります。
しかし模試は模試。
最適な教材になるとは思えませんし、なるようなら進研がとっくに発売していますし、進研ゼミなどとっくにやめているでしょう。

書店に行っても教材が多すぎると言いますが、自分の学力が把握できればおそらくそれでかなり絞れるはずです。
それも判らなければ...続きを読む

Q分子結晶と共有結合の結晶の違いは?

分子結晶と共有結合の結晶の違いはなんでしょうか?
参考書を見たところ、共有結合の結晶は原子で出来ている
と書いてあったのですが、二酸化ケイ素も共有結合の
結晶ではないのですか?

Aベストアンサー

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素SiO2の場合も
Si原子とO原子が共有結合し、この結合が立体的に繰り返されて
共有結合の物質というものをつくっているのです。
参考書の表現が少しまずかったのですね。
tomasinoさんの言うとおり、二酸化ケイ素も共有結合の結晶の1つです。

下に共有結合の結晶として有名なものを挙げておきます。

●ダイヤモンドC
C原子の4個の価電子が次々に4個の他のC原子と共有結合して
正四面体状に次々と結合した立体構造を持つのです。
●黒鉛C
C原子の4個の価電子のうち3個が次々に他のC原子と共有結合して
正六角形の網目状平面構造をつくり、それが重なり合っています。
共有結合に使われていない残りの価電子は結晶内を動くことが可能なため、
黒鉛は電気伝導性があります。
(多分この2つは教科書にも載っているでしょう。)
●ケイ素Si
●炭化ケイ素SiC
●二酸化ケイ素SiO2

私の先生曰く、これだけ覚えていればいいそうです。
共有結合の結晶は特徴と例を覚えておけば大丈夫ですよ。
頑張って下さいね♪

●分子結晶
分子からなる物質の結晶。
●共有結合の結晶
結晶をつくっている原子が共有結合で結びつき、
立体的に規則正しく配列した固体。
結晶全体を1つの大きな分子(巨大分子)とみることもできる。

堅苦しい説明で言うと、こうなりますね(^^;
確かにこの2つの違いは文章で説明されても分かりにくいと思います。

>共有結合の結晶は原子で出来ている
先ほども書いたように「原子で出来ている」わけではなく、
「原子が共有結合で結びついて配列」しているのです。
ですから二酸化ケイ素Si...続きを読む

Q;と:の訳し方

文中にでてくる;(セミコロン)と:(コロン)の正しい訳し方を教えてください。確か、;は「つまり」というような意味だったのでは、と思うのですが、自信がありません。

Aベストアンサー

実際に使いこなすのは難しいですね。コロンもセミ・コロンも前の文章を敷衍して説明するときに使われます。ある場合はほとんど同じ役目といってもいいでしょう。

コロン:1)直前の文章の理由をあげたり、説明を行う。この場合は「つまり、すなわち」などと訳してもいいでしょう。
2)次に引用文がくることを示す。この場合は例えば「A氏は次のように述べている」とか前の文章で工夫する必要があります。

セミ・コロン:作者の文体、気分でコンマやピリオドの代わりに使われる。
二つの節(clause)をセミ・コロンで繋ぐことにより、文章は続くが、前の文は
気持ちの上では終わり、後の文(節)は前の文を対比的に説明したり、理由を説明している。日本語訳では文章に応じてコンマかピリオドで処理すべきでしょう。

Q分子式と組成式の違い

えっと…初歩的なことで今更あれなんですが、分子式と組成式の違いがよく分かりません。
お分かりになる方、お教えください。

Aベストアンサー

分子式というのは分子が存在する物質に限って用いられ、その分子に含まれている原子をその数とともに示したものです。
たとえば、水:H2O、アンモニア:NH3といった感じです。


組成式というのは、その物質を構成している原子を最も簡単な整数比で表したものですが、それには2つの可能性があります。
(1)分子が存在する場合でも、種々の理由によって、分子式で表すのが困難な場合には組成式で表します。
たとえば、ダイヤモンドやイオウは高分子ですので、分子式で表そうとすれば構成している原子数を知る必要がありますが、それは個々のダイヤモンド等によって異なっており、正確な原子数を知ることは不可能です。したがって、ダイヤモンド:C、イオウ:Sのように表します。
また、高分子以外でも、種々の理由によって、たとえばベンゼン:C6H6などを、CHという組成式で表すこともあるでしょう。

(2)分子を形成しない物質の場合には、組成式で表します。たとえば、食塩をNaClと表しますが、これはNaClという分子があるのではなく、Na原子(あるいはNa+)とCl原子(あるいはCl-)が1:1で含まれていることを意味します。イオン結合を形成する物質の中には、このように組成式で表されるものが多いと言えるでしょう。

分子式というのは分子が存在する物質に限って用いられ、その分子に含まれている原子をその数とともに示したものです。
たとえば、水:H2O、アンモニア:NH3といった感じです。


組成式というのは、その物質を構成している原子を最も簡単な整数比で表したものですが、それには2つの可能性があります。
(1)分子が存在する場合でも、種々の理由によって、分子式で表すのが困難な場合には組成式で表します。
たとえば、ダイヤモンドやイオウは高分子ですので、分子式で表そうとすれば構成している原子数を知る...続きを読む

Q四次元というのはどんな世界ですか?

そもそも我々の住んでいる世界は三次元ですか、四次元ですか?
三次元の世界とは縦横高さのある空間の世界だと思います。
これに時間の概念を足せば四次元になるのでしょうか?
我々の世界にも時間があるので、四次元といってもいいのでしょうか?
それとも四次元とは時間とは無関係の世界なのでしょうか?
あるいは時間と空間を自由に行き来できるのが四次元なのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>そもそも我々の住んでいる世界は三次元ですか、四次元ですか?

4次元であると考えると都合がいいというのが
現段階の結論です。

 100年ほど前、スイスのチューリッヒ工科大学
のミンコフスキー教授が物理学的な4次元の理論というのを
考えました。物理的な計算をするのに、縦、横、高さ
方向以外にもう1つ方向があるとして計算すると
うまく計算できることがあるというもので、
彼の教え子の一人が、4次元時空の理論と
して有名な相対性理論を完成させた、アルバート・
アインシュタインでした。
 彼は、リーマンという数学者が作った、
曲がった空間の幾何学(現在リーマン
幾何学と呼ばれています)を使い、4次元の
空間が歪むという状態と、重力や光の運動を
あわせて説明したんです。これが相対性理論。

>これに時間の概念を足せば四次元になるのでしょうか?

 物理学的にはそうです。

 相対性理論の話に関連付けて説明するとこんな感じです。
例えば、下敷きの板のような平面的なもの(数学的には
これを2次元空間と言ったりします)を曲げると
いう動作を考えてみて下さい。下敷きに絵が書いて
あったとして、曲げながらそれを真上から見て
いると、絵は歪んで見えます。平面的に見て
いても下敷きという2次元空間が歪んでいる
ことが感じ取れます。
 2次元的(縦と横しかない)な存在である下敷きが
歪むには、それ以外の方向(この場合だと高さ方向
ですが)が必要です。

 19世紀に、電気や磁気の研究をしていた学者たちが、
今は小学校でもやる砂鉄の実験(紙の上に砂鉄をばら撒いて
下から磁石をあてると、砂鉄が模様を描くというやつです)
を電磁石でやっていたときに、これは空間の歪みが
原因ではないかと直感したんです。
 電磁石の強さを変えると、砂鉄の模様が変化します。
これを砂鉄が動いたと考えず、砂鉄が存在して
いる空間の歪みが変化したのでは?と考えたんです。

 3次元の空間がもう1つ別な方向に曲がる。
その方向とは時間という方向だということを
証明したのが、相対性理論だったんです。


>あるいは時間と空間を自由に行き来できるのが四次元なのでしょうか?

 4つ目の方向である時間は、存在していても
その方向に、人間が自由には移動する方法は
現在ありません。時間方向を自由に動ける機械と
いうのは、タイムマシーンのことなんですが。

 日常生活を考えてみたとき、縦、横といった
方向は割りと自由に動けます。1時間ちょっと
歩けば4kmくらい楽に移動できますが、
道路の真中で、ここから高さ方向に
4km移動しろと言われたら、人力だけでは
まず無理でしょう。
 飛行機やロケットといった道具が必要と
なります。
 時間方向というのは、このように存在していても
現在のところ自由に移動できない方向なんです。

 例えば、人間がエレベーターの床のような
平面的な世界に生きているとしましょう。

 この場合、高さ方向を時間と考えて下さい。

 エレベーターは勝手に下降しているんです。
この状態が、人間の運動と関係なく、時間が
経過していく仕組みです。

 人間もほんの少し、ジャンプして高さ
方向の移動に変化をつけることができます。

 同様に時間もほんの少しなら変化をつける
ことができます。

 エレベーターの中で、ジャンプすると
ほんの少し下降を遅らせることができる
ように、時間もほんの少し遅らせることは
できるんです。




 

>そもそも我々の住んでいる世界は三次元ですか、四次元ですか?

4次元であると考えると都合がいいというのが
現段階の結論です。

 100年ほど前、スイスのチューリッヒ工科大学
のミンコフスキー教授が物理学的な4次元の理論というのを
考えました。物理的な計算をするのに、縦、横、高さ
方向以外にもう1つ方向があるとして計算すると
うまく計算できることがあるというもので、
彼の教え子の一人が、4次元時空の理論と
して有名な相対性理論を完成させた、アルバート・
アインシュタイン...続きを読む

Q「すいません」と「すみません」どちらが正しい?

 タイトルにあるとおり、素朴な疑問になりますが、「すいません」と「すみません」ではどちらが日本語として正しいのでしょうか。分かる方ぜひ教えてください。

Aベストアンサー

もともとは「すみません」ですが、「すいません」と発音しやすく変えたものもたくさん使います。
話す時はどちらでもいいですよ。

ただ、私個人の語感で言うと、公式的な場では「すみません」の方がいいような気もします。「すいません」はちょっとくだけた感じかな。でも、これはあくまで私個人の語感。人によって、あるいは地方によっても感じ方は違うだろうと思います。

書くときはもちろん「すみません」にしましょう。

発音しやすく変化した発音の他の例としては
手術(しゅじゅつ→しじつ)
洗濯機(せんたくき→せんたっき)
などがあります。これも、話す時にはどちらでもいいです。「しじつ」「せんたっき」と書いてはいけませんが。

Q水素結合とはどういうものですか?

現在、化学を勉強している者です。水素結合についての説明が理解できません。わかりやすく教えていただけないでしょうか?また、水素結合に特徴があったらそれもよろしくお願いします。

Aベストアンサー

要は、「電気陰性度の大きい原子に結合した水素と、電気陰性度の大きい原子の間の静電的な引力」です。
電気陰性度の大きい原子というのは、事実上、F,O,Nと考えて良いでしょう。
電気陰性度の大きい原子と結合した水素上には正電荷(δ+)が生じます。また、電気陰性度の大きい原子上には負電荷(δー)が存在します。

水素が他の原子と違うのは、その価電子が1個しかないことです。つまり、他のイオンとは異なり、H+というのは原子核(通常は陽子)のみになります。他のイオンの場合には、内側にも電子格殻が存在しますので、原子格がむき出しになることはありません。
ご存じと思いますが、原子核というのは原子のサイズに比べてはるかに小さいために、H+というのは他のイオンとは比べ物にならないほど小さいといえます。もちろん、正電荷を持つ水素というのは水素イオンとは異なりますので、原子殻がむき出しになっているわけではありませんが、電子が電気陰性度の大きい原子に引き寄せられているために、むき出しに近い状態になり、非常に小さい空間に正電荷が密集することになります。
そこに、他の電気陰性度の大きい原子のδーが接近すれば、静電的な引力が生じるということです。
そのときの、水素は通常の水素原子に比べても小さいために、水素結合の結合角は180度に近くなります。つまり、2個の球(電気陰性度の大きい原子)が非常に小さな球(水素原子)を介してつながれば、直線状にならざるを得ないということです。

要は、「電気陰性度の大きい原子に結合した水素と、電気陰性度の大きい原子の間の静電的な引力」です。
電気陰性度の大きい原子というのは、事実上、F,O,Nと考えて良いでしょう。
電気陰性度の大きい原子と結合した水素上には正電荷(δ+)が生じます。また、電気陰性度の大きい原子上には負電荷(δー)が存在します。

水素が他の原子と違うのは、その価電子が1個しかないことです。つまり、他のイオンとは異なり、H+というのは原子核(通常は陽子)のみになります。他のイオンの場合には、内側にも電子格殻...続きを読む

Q九州大学はどれぐらいの…

地元の大学ではないのでよくわからないのですが、
九州大学はどれぐらいのレベルですか?
ネットでもいろいろ調べてみたのですが、
いまいち実感がわきません。

高2の学研模試の偏差値は44でした…。
センターまであと一年もないのに
これでは無謀すぎますか?

どれぐらい頑張ればいいのでしょうか?
どうか私に、アドバイスや渇を入れてください。

Aベストアンサー

質問者の方は九州の方でしょうね。私も九州の出身です。九州大学は、九州では大変なネームバリューがあります。九州地域で就職するのであれば、最高の大学でしょう。現在、高2であれば、頑張り次第では不可能ではないと思います。しかし、現実的なところで、お話させていただくなら、熊本大学などを目標に努力するのも良いかと思います。
小生、現在関東に住んでおりますが、関東からすると九州大学と熊本大学の違いが殆どありません。学生時代には、九大の難易度の高さが高値の峰の様に小生の前に聳えていたように感じておりました。日本の経済の中心が関東であるため、人口も多く関東に位置する大学が当然、偏差値が高くなります。
前の回答者の方が東工大より九大が良いと言われてましたが、某週刊誌のデータでは東工大の合格者の早稲田・慶応の合格率が夫々、80%、75%。九州大の場合、25%、6%です。
また、大手予備校の偏差値データでも、東工大>>九大 です。難易度は、卒業した後の超一流企業就職率などが反映されたものです。主観ではなく、数値に裏打ちされたデータを提供すべきではないでしょうか。

質問者の方は九州の方でしょうね。私も九州の出身です。九州大学は、九州では大変なネームバリューがあります。九州地域で就職するのであれば、最高の大学でしょう。現在、高2であれば、頑張り次第では不可能ではないと思います。しかし、現実的なところで、お話させていただくなら、熊本大学などを目標に努力するのも良いかと思います。
小生、現在関東に住んでおりますが、関東からすると九州大学と熊本大学の違いが殆どありません。学生時代には、九大の難易度の高さが高値の峰の様に小生の前に聳えていたよ...続きを読む


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