証明問題の解答をお願いします！

ｎは自然数とする。このとき、次式が成立することを数学的帰納法を用いて証明せよ。
１×３＋２×４＋３×５…＋ｎ(ｎ＋２)＝１/６ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋７)

No.3 ベストアンサー 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2002/08/13 00:53

[一番平凡な書き方の証明]

１×３＋２×４＋３×５＋…＋ｎ(ｎ＋２)＝(１/６)ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋７)・・・(Ａ)
とする．[右辺の(１／６)の括弧は無いと正式にはまずいです．(違う意味になったりします)]

ｎ＝１のとき
(左辺)＝１×３＝３，(右辺)＝(１／６)×1×２×９＝１８／６＝３
で(Ａ)は成立．

n=kのとき(kは任意の自然数)
１×３＋２×４＋３×５＋…＋ｋ(ｋ＋２)＝(1／6)ｋ(ｋ＋１)(２ｋ＋７)・・・(＊)
が成立すると仮定すると
両辺に (k+1){(k+1)+2}=(k+1)(k+3)を加えて
１×３＋２×４＋３×５＋…＋ｋ(ｋ＋２)＋(ｋ＋１)(ｋ＋３)
＝(1／6)ｋ(ｋ＋１)(２ｋ＋７)＋(ｋ＋１)(ｋ＋３)
＝(1／6)(ｋ＋１){ｋ(２ｋ＋７)＋６(ｋ＋３)}
[ここで，共通因数(1／6)(ｋ＋１)とみて括っています]
＝(1／6)(ｋ＋１)(２ｋ^2＋７ｋ＋６ｋ＋１８)
＝(1／6)(ｋ＋１)(２ｋ^2＋１３ｋ＋１８)
＝(1／6)(ｋ＋１)(ｋ＋２)(２ｋ＋９)
[ここは偶然ではなくて，(＊)式の右辺でｋをｋ＋１で置き換えた形になるハズという信念(予測)を持って書いて見ると，確かに展開して合っています．ただし，証明なので（＊）式でｋをｋ＋１で置き換えて．．．などと書くと，導いていない(示していない)ことになって致命的な誤りです．]

すると(Ａ)はｎ＝ｋ＋１のときも成り立つ．

よって数学的帰納法により，全ての自然数ｎで(Ａ)は成立．

No.4 回答者： CATV95II 回答日時： 2002/08/13 01:04

すいません、証明方法間違えてますね、、、

お恥ずかしい限りです
証明は＃３の方を参考になさってください。

この回答へのお礼

助かりました。皆さん、とても親切なご説明をありがとうございました！

お礼日時：2002/09/21 13:32

No.2 回答者： CATV95II 回答日時： 2002/08/13 00:31

因数分解ではなくてそのまま掛け算ですね

例を書きます
(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+a×b
です
x^2はｘの２乗です
もっと一般化すれば
(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd　です。
ちなみに
a(b+c)=ab+acです
これで理解できるでしょうか？

No.1 回答者： CATV95II 回答日時： 2002/08/12 23:43

先ほど回答があったようですが、あれでは分からなかったですか？

簡単に説明しましょうかね。
まずはn=1について成り立つか確かめます。
これは証明する上で必要な手続きです。
次にn=kについて考えます。(kは任意の整数)
１×３＋２×４＋３×５…＋ｋ(ｋ＋２)＝１/６ｋ(ｋ＋１)(２ｋ＋７)
が成り立つと仮定します。
次にn=k+1について考えます
左辺はn=k+1の項が1つ増えて
１×３＋２×４＋３×５…＋ｋ(ｋ＋２)+(k+1)(k+1+2)・・・1式
となります。
右辺はn=k+1を代入して
1/6(k+1)(k+1+1)(2(k+1)+7)・・・2式
ですね。
1式において
１×３＋２×４＋３×５…＋ｋ(ｋ＋２)を仮定に従って
１/６ｋ(ｋ＋１)(２ｋ＋７)
と置き換えます。
すると1式は
１/６ｋ(ｋ＋１)(２ｋ＋７)+)+(k+1)(k+1+2)となります。
この式と2式が等しいことを証明できればよいです。
計算すると同じになりますので、それを確かめましょう。
任意の整数kとk+1の間で成り立つことが以上の証明から分かります。
n=1では問題文の式は成り立つのですから、拡張すれば、全ての整数で成り立つといえます。

この回答へのお礼

誤って、締め切ってしまいました。お礼も出来ず申し訳ありませんでした。この場を借りて謝罪致します！
１/６(ｋ＋１)(２ｋ＋７)＋(ｋ＋１)(ｋ＋３)が解けないです…。因数分解の公式を教えて頂けないでしょうか？高校時代の教科書類は全て処分してしまって困ってます。当時は「因数分解なんて今後ぜったいに使わねえよ！」なんて言ってたんですけどね…。

お礼日時：2002/08/13 00:07