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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
おはようございます。
(1)は求まりましたか?まずやってみますね。
A1=4
A2=(4*A1-9)/(A1-2)=7/2
A3=(4*A2-9)/(A2-2)=10/3
A4=(4*A3-9)/(A3-2)=13/4
A5=(4*A4-9)/(A4-2)=16/5
なのでAnは分母がn、分子は初項4、交差3の等差数列になっていると予想します。
したがって
An=(3n+1)/n
と予想することができます。
(2)帰納法でAn=(3n+1)/nを証明する。
いま、Ak=(3k+1)/k・・・・・(あ)
が2以上の整数kについて成り立っているとすると
Ak+1=(4Ak-9)/(Ak-2)
={4(Ak-2)-1}/(Ak-2)
=4 - 1/(Ak-2)
この式において、Ak=(3k+1)/kを代入すると
Ak+1=4 - 1/{(3k+1)/k -2}
=4 - 1/{(k+1)/k}
=4 - k/(k+1)
={4k+4-k}/(k+1)
=(3k+4)/(k+1)
これは、(あ)の式がk+1のときも成立することを示す。
k=1のとき、(あ)はA1=4となって、これはk=1のときも(あ)
が成り立つことになるので
すべての自然数nについて
An=(3n+1)/n
が成立することが数学的帰納法によって証明されました。
この回答への補足
いつも丁寧な回答を有難うございます。。。。しかし、一箇所よく分からないところがあったので質問させて下さい。
どうして、{4(Ak-2)-1}/(Ak-2)=4-1/(Ak-2)になるのでしょうか?(2)の5行目から6行目にかけての所です。私は{4(Ak-2)-1}/(Ak-2)に直接Ak=(3k+1)/kを代入してみたのですが、計算間違いだと思いますけど、答えが(4k+3)/(k+1)になったのです。。。
おそらく、簡単なことをお尋ねしていることと思います。でも、分からないので、教えてください・・・
No.4
- 回答日時:
こんばん。
今日は今初めてパソコンを開けたので、お返事が遅くなってすみません。
>どうして、{4(Ak-2)-1}/(Ak-2)=4-1/(Ak-2)になるのでしょうか?
ちょっとややこしいので、Ak-2=xとおいてみましょう。
{4(Ak-2)-1}/(Ak-2)={4x-1}/x
=4x/x-1/x
=4 -1/x
ここでxをもとにもどしましょう。
=4 -1/(Ak-2)
となりますね。
ti-zuさんのやり方でもOKですよ。
>私は{4(Ak-2)-1}/(Ak-2)に直接Ak=(3k+1)/kを代入してみたのですが
{4(Ak-2)-1}/(Ak-2)={4*{(3k+1)/k-2}-1}/{(3k+1)/k -2}
={4(3k+1-2k)/k-1}/{(3k+1-2k)/k}
={(4k+4-k)/k}/{(k+1)/k}
=(3k+4)/(k+1)
となりますので、このやりかたでもk+1のときに式が成り立つことがいえますので
証明できたことになります。
ちょっと計算がややこしいですが、きっとできると思います。
頑張ってください!!
なるほど!理解できました。明日がテストなもので切羽詰っています。丁寧な回答を頂けて本当に「助かったぁ」という思いでいっぱいです!回答有難うございました。
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