(問題)
kを整数とするとき、akをbで割った余りをr(k)で表す。k、lをb-1以下の正の整数とするとき「k≠1ならばr(k)≠r(l)」であることを示せ。ただし、aとbは互いに素な整数である。
(解説)
元の命題の対偶を取ると「r(k)=r(l)ならばk=l」となりこれを証明する。ak、alをbで割ったときの商をp、qとすると、
ak=bp+r(k)…(1)
al=bq+r(l)…(2)
(1)-(2)より
a(k-l)=b(p-q)
ここで、aとbは互いに素であるから、k-lはbの倍数である。
また、k、lはb-1以下の正の整数であるから
0<k<b、0<l<b
よって、-b<k-l<b
ゆえにk-l=0であるからk=l
したがって元の命題は証明された。
なんですけど…
ここで、aとbは互いに素であるから、k-lはbの倍数である。
↑の部分のなぜk-lはbの倍数になるのか?
また、k、lはb-1以下の正の整数であるから
0<k<b、0<l<b
↑のー1はどうなったのか?と
よって、-b<k-l<b
ゆえにk-l=0であるからk=l
↑のゆえにk-l=0であるからk=lの部分の=0がどこからきたのか分かりません。
質問三つと多いですが、回答お願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1)
> ここで、aとbは互いに素であるから、k-lはbの倍数である。
> ↑の部分のなぜk-lはbの倍数になるのか?
a (k-l) = b (p-q)
という式を睨みます.
右辺は明らかに b の倍数です.したがって左辺も b の倍数です.
ところが a と b は互いに素なので,a は b の約数を一切含みません.
したがって (k-l) が b の倍数でないと,左辺は b の倍数になりません.
(2)
> また、k、lはb-1以下の正の整数であるから
> 0<k<b、0<l<b
> ↑のー1はどうなったのか?と
「b-1 以下の整数」であることと,「b 未満の整数」であることは同じなので,
不等式の上側をイコール抜きの不等号「< b」にして -1 を消しています.
(もちろん,-1 を書いて「≦ b-1」としてもかまいません)
(3)
> よって、-b<k-l<b
> ゆえにk-l=0であるからk=l
> ↑のゆえにk-l=0であるからk=lの部分の=0がどこからきたのか分かりません。
前のほうで見たように,k-l は b の倍数です.
つまり k-l は ..., -2b, -b, 0, b, 2b, ... のどれかです.
ところが,いま不等式 -b < k-l < b があるので,
この条件を満たすものは k-l = 0 しかありません.
No.1
- 回答日時:
1.互いに素ということはbの1を除くどの約数もaの約数ではないので
等式からbの全ての約数は(k-l)の約数です。
よって(k-l)はbの倍数です。
2.k≦b-1はk<bに含まれますし整数条件なら等しいです。
3.-bより大きくてbより小さいbの倍数は0だけです。
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