文字式の変形で全く検討がつきません

数学的帰納法の問題で
解説を見ても全く理解出来ない所が有ります。

問
2以上の全ての自然数nについて、不等式
Σ1/r^3(r=1からn)< 2-1/n^2
が成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ

解説は
Σ1/r^3(r=1からn)< 2-1/n^2・・・(1)
［1］n=2のとき
(1)の左辺＝1+1/8=9/8
右辺＝2-1/4=7/4
よって(1)は成り立つ

［2］
n=kの時(1)が成り立つと仮定する
n=k+1の時を考えると、仮定から

Σ1/r^3（r=1からk+1まで）
=Σ1/r^3（r=1からk）+1/（k+1）^3< 2-1/k^2+1/（k+1）^3・・・(2)

見にくくて申し訳ないですが、
なぜ（k+1）のとき(2)の右辺が理解出来ません。
どなたかよろしくお願いします。

※添付画像が削除されました。

No.2 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2009/06/02 01:44

　式（２）の左辺の第１項　Σ1/r^3（r=1からk）　は、ｎ＝ｋのときの式（１）の左辺に相当するからです。

　そのため、　
　　　Σ1/r^3（r=1からk）＜　2-1/k^2
となります。
　あとは、両辺に　1/（k+1）^3　を足し合わせれば、式（２）そのものになります。

No.1 回答者： settheory 回答日時： 2009/06/02 01:38

それは帰納法の仮定を使っているからです。

（１からk+1までの和）＝（1からkまでの和）＋（k+1番目の項）

帰納法の仮定より、kまでの和なら、示そうとしている不等式が成立しています。（つまり、Σ1/r^3(r=1からn)< 2-1/n^2　のnにkを代入したもの　）　よって（1からkまでの和）＜2-1/k^2 となるので、これの両辺に（k+1番目の項）を足せばできあがりです。

帰納法の最大の利点は、一つ前までなら成立するということが利用できることです。わざわざ帰納法をやるのは、こういうことに頼らざるを得ない（頼ると楽）からです。帰納法の仮定を使わずに証明ができるのなら、最初から普通に証明できてしまうというこです。