No.5ベストアンサー
- 回答日時:
(1)(2)(5)のみで良かったかとも思います。
尚、文字は全て正とします。
(1)
相加・相乗を、ひとつ下のスレッドで、
(a+b)/2 ≧√ab と書きましたが、
a+b≧2√ab
とする方が色々都合が良いので、以下この書き方と思ってください。
(2)
相加・相乗を複数回使うときと、1回だけ使うときの区別が必要となります。質問の問題は、両方okです。
(3)
2回使う例として、
[p+(1/p)][q+(1/q)]、の最小値では、
[p+(1/p)]≧2√[p*(1/p)]=2
[q+(1/q)]≧2√[q*(1/q)]=2
[p+(1/p)][q+(1/q)]≧4
p=q=1で、最小値4 と。
(4)
1回使う例として、質問文を変えて、
[A+(2/B)][B+(4/A)]の最小値を求める際に、
[A+(2/B)][B+(4/A)]=AB+2+4+(8/AB)=AB+6+(8/AB)
と展開して、
ABと(8/AB)に対して相加・相乗を適用して、
AB+(8/AB)≧2√[AB*(8/AB)]
AB+(8/AB)≧2√8
AB+(8/AB)≧4√2
等号成立は、
AB=(8/AB) → AB=2√2
[A+(2/B)][B+(4/A)]≧6+4√2
AB=2√2 のときに最小値 6+4√2 となります。
これを、
[A+(2/B)]≧2√[A*(2/B)]・・・P
[B+(4/A)]≧2√[B*(4/A)]・・・Q
辺々を掛けて、
[A+(2/B)][B+(4/A)]≧(2√[A*(2/B)])(2√[B*(4/A)])
[A+(2/B)][B+(4/A)]≧4√8
[A+(2/B)][B+(4/A)]≧8√2
と計算するすると、out になります。
out の原因は、
Pの等号成立は、A=(2/B) → AB=2
Qの等号成立は、B=(4/A) → AB=4
と等号条件が一致しないからです。
(5)本体
>> (A+2/B)*(B+2/A)≧8
<展開して相加・相乗を使う場合>
[A+(2/B)][B+(2/A)]=(AB)+4+(4/AB)
ABと(4/AB)に対して相加・相乗を適用して、
(AB)+(4/AB)≧2√[(AB)*(4/AB)]
(AB)+(4/AB)≧4
よって
、
[A+(2/B)][B+(2/A)]≧4+4=8
等号成立は、
(AB)=(4/AB) → AB=2
<[A+(2/B)],[B+(2/A)]に相加・相乗を使う場合>
[A+(2/B)]≧2√[A*(2/B)]・・・R
[B+(2/A)]≧2√[B*(2/A)]・・・S
辺々を掛けて、
[A+(2/B)][B+(2/A)]≧(2√[A*(2/B)])(2√[B*(2/A)])
[A+(2/B)][B+(2/A)]≧8
Rの等号条件は、A=(2/B) → AB=2
Sの等号条件は、B=(2/A) → AB=2
と一致してokとなります。
<相加・相乗を使わない場合>
左辺-右辺
=[A+(2/B)][B+(2/A)]-8
=(AB)+4+(4/AB)-8
=(AB)-4+(4/AB)
=[(AB)^2-4(AB)+4]/AB
=[(AB-2)^2]/AB≧0
・・・ 。
この回答へのお礼
お礼日時:2008/01/04 18:56
とても詳しいご説明ありがとうございます。
相加平均、相乗平均は私にとって非常に理解に苦しんでいる範囲です。
これからも、どのような範囲でお助けをいただかざるを得ないかわかり
ませんがその折は、どうぞよろしくお願いいたします。
No.6
- 回答日時:
蛇足:
#5 で
[A+(2/B)][B+(4/A)]≧8√2 とすると out
と書かれていますが, これは「不等式としては」全く正しい式です. もちろん, この式をもって「左辺の最小値は 8√2」といえるわけではないですが.
No.4
- 回答日時:
A,Bは正の定数から、
A+2/B≧2√(2A/B) ‥‥(1) 等号成立は、A=2/B、即ちAB=2のとき。
同様に、B+2/A≧2√(2B/A)‥‥(2) 等号成立は、B=2/A、即ちAB=2のとき。
(1)*(2)を作ると、(A+2/B)*(B+2/A)≧8。
No.3
- 回答日時:
あんまり深く考える必要もなく
(A + 2/B)(B + 2/A) = AB + 4/(AB) + 4
よって AB = X > 0 とすれば
与式 = X + 4/X + 4 。
これに相加相乗平均を使うだけ
No.2
- 回答日時:
すみません、
下の方の回答を見て思い出したのですが、
相加相乗平均の公式は
むやみに掛け合わせたらいけないんでした。
忘れてました。
したがってこれは間違いです。
>(A+2/B)と(B+2/A)について別々に相加送料平均の公式を使い、
>その辺々を掛ければ良いです。
理由も忘れてしまいました。
確か定数で固定できない時が駄目だったような・・・。
思い出したら書き込みます。
すみません。
No.1
- 回答日時:
相加相乗平均
(X-Y)^2≧0はX、Yがどんな数でも成り立つので、
⇔X^2-2XY+Y^2≧0
⇔X^2+2XY+Y^2≧4XY
⇔(X+Y)^2≧4XY
X,Y≧0なら
X+Y≧2√(XY)←この式!
>(A+2/B)*(B+2/A)≧8を証明しなさい。
(A+2/B)と(B+2/A)について別々に相加送料平均の公式を使い、
その辺々を掛ければ良いです。
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