点と直線の距離の最大値

直線ｌ：（2ｔ+1）ｘ－（3ｔ+1）ｙ－3ｔ－2＝0と点Ａ（2、0）がある
直線ｌと点Ａとの距離が最大になるようなｔの値と、そのときの距離を求めよ。
　
この問題がどうしても解けません
途中まで解けたのですが・・・
ヒントをよろしくおねがいします


直線ｌの方程式をｔについて整理して
（2ｘ－3ｙ－3）ｔ+（ｘ－ｙ－2）＝０
ｔについての恒等式として、
2ｘ－3ｙ－3＝0、ｘ－ｙ－2＝0よりｘ＝3、ｙ＝1
∴直線ｌは（3、1）を通る

直線ｌと点Ａの距離をｄとすると、ｄが最大になるとき、
ｄ＝２点（2,0）（3,1）の距離なのかな？って直感的に思ったんですがそれを証明する方法がわからないのでこれは間違っているのでしょうが？

No.9 回答者： kabaokaba 回答日時： 2007/03/21 12:07

No.8さんので幾何的には完璧だと思います．

No.8さんはさらっと流されてますけど
（実際，絵を書けば自明ですが），
大事なのは，中学校で習う
「半円に対する円周角は90度」
という定理です（この定理，結構，よく使います）．
Aからlに降ろした垂線の足をPとすると
APの長さがAとlの距離です．
一方，FP（つまりlの一部分）とAP（垂線）は当然
90度ですので，lが動けば90度を保ってPが動きます
したがってPは半径AFの円周上を動きます．

確かにPそのものは円周上をすべて動くかは不明ですが，
仮に円周上をすべて動いたとしても，最大になるのは
P=Fのケースであり，この場合は実際に存在するので
十分でしょう．
＃実際のところは円周全部ではなく，点が欠落します．
＃lが実現できない直線が一本だけありますので．

No.8 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/03/20 22:11

直線 l が定点 F(3, 1) を通ることがわかった。

l と A の距離は A から l に引いた垂線 P と A の長さだ。

これらから、l がいろいろ動いたときの P の軌跡は AF を直径とする円だ。

よって、最大になるのは P = F のとき。おしまい。

補足すると、直線 l が点 F を通る「全ての」直線にわたるかは検証を要します。

No.7 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/03/20 21:52

＜＃１様の説＞　と　＜貴殿の出した（3、1）と条件（2,0)より＞　距離は√（？）と判っているので安心して解けます。

解１　＃３の公式を使います

d^2=(t^2)/(13(t^2)+10t+2)
1/d^2=(13(t^2)+10t+2)/(t^2)
=13+2【(1/t)^2+(5/t)】
=13+2【((1/t)+(5/2)(1/t))^2-(25/4)】より　t=?　のとき　d の　最大値？

読みにくいのが、かえってＭＥＲＩＴ

No.6 回答者： Quattro99 回答日時： 2007/03/20 21:15

直線lと点Aとの距離は2点（2,0）、（3,1）の距離より大きくなれないというのは、特に証明せずにそういっていいんじゃないかと思います。

一応、証明するなら、それより大きいとすると、その距離よりも小さい距離にある点(3,1)が直線上に存在するので矛盾するというようなことでいいのではないでしょうか。

No.5 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/03/20 20:41

ゴメン！　誤読の誤読　今から　やります！

No.4 回答者： y_akkie 回答日時： 2007/03/20 20:29

#2です。

以下の内容を訂正いたします。

＞円の中心である(2,0)から、２点の交点によってできる弦の中点と直交し、＞それがＡと直線Ｌとの距離に相当し

２点の交点によってできる弦の中点と円の中心を結ぶ線分は、その弦と直交し、それがＡと直線Ｌとの距離に相当し

後、補足として、

円(x-2)^2+y^2=2には(3,1)を通る円であり、(3,1)が直線Ｌの接点になる時は、直線Ｌと円の中心Ａ（2,0)と接点を結ぶ線分とは直交し、それがこの時の直線ＬとＡとの距離になり、その距離は円の半径である√2になります。
mがそれ以外の値の時は、必ず二点で交わる事になり、二点で交わる場合は、
２点によってできる弦の中点とＡとの距離が直線ＬとＡとの距離になり、その距離は円の半径よりも小さくなるので、円の半径に相当する距離よりも大きくなる事はないという事です。

No.3 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/03/20 20:27

問題は、今から解きますが

一点（ｘ０，ｙ０）と直線ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０
の距離ｄの公式はダメなんですか？

ｄ＝| （ａ＊ｘ０）＋（ｂ＊ｙ０）＋ｃ　| /√（（ａ＾２）＋（ｂ＾２））

と思ったら誤読

最大値？

普通はありませんよ！

No.2 回答者： y_akkie 回答日時： 2007/03/20 20:16

証明の方針としては、直線y=m(x-3)+1として、

（２，０）を中心し、半径を(2,0)と(3,1)との距離である
円(x-2)^2 + y^2 = 2の存在を考えます。そして、直線y=m(x-3)+1が接するときmの値が、距離の最大値を与え、それ以外のmの値については、２点で交わるわけです。２点で交わる場合は、円の中心である(2,0)から、２点の交点によってできる弦の中点と直交し、それがＡと直線Ｌとの距離に相当し、その長さは円の半径よりも必ず小さくなることがいえるので、その円の半径よりも大きな距離を与えるmの値が存在しない事がいえます。

No.1 回答者： 10ken16 回答日時： 2007/03/20 19:24

必ず通る点が分かったということは、

ｔが変化し、どんな直線を描いても、
その点より遠い距離にはならない

従って、その点が垂線の足になる。
と考えれば良いでしょう。

この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます
それを数学的に証明したいのですが・・・
あなたの言いたいことは理解できます
ですがこの問題の要点はそこなので、できれば具体的な解説をおねがいいたします

お礼日時：2007/03/20 19:30