1/sinxcosxの積分

某参考書の解答には(log｜tanx｜)'=(tanx)'/tanx=1/sinxcosxより、1/sinxcosxの原始関数のひとつは、log｜tanx｜である。とあったのですが、さすがにこれは思いつく自信がないなぁ～と思いました。こういうのは覚えてしまったほうがよいのでしょうか？？？？それとも、他に方法があるのでしょうか？？？？唐突な質問ですみませんでした。

No.3 ベストアンサー 回答者： zk43 回答日時： 2007/04/03 20:25

こういうのは全部覚えるなんて無理です。

sin、cosの微分積分とか、加法定理とか基本的なものは最低でも
覚えたほうが良いですが、あとは組み合わせとか、対数とかの知
ってる関数の形に工夫して変形します。

問題の例は、たとえば２倍角の公式を使うと、
1/sinxcosx=2/sin2x=2sin2x/sin^2(2x)=2sin2x/(1-cos^2(2x))
となって、この積分でcos2x=tとおくと、-2sin2xdx=dtとなって、
1/(t^2-1)の積分を求めることになります。
これは、
(1/2)(1/(t-1)-1/(t+1))
と変形できるので、積分は、
(1/2)(log|t-1|-log|t+1|)=(1/2)log|(t-1)/(t+1)|
となって、t=cos2xと戻すと、
log|tanx|
になります。

前の方のほうが簡単なやりかたですが、やりかたは色々あります、
ということでご参考まで。

定石というか、いくつかのパターンはあると思いますが、こういう
のはもう理屈というより、こうなってほしい、という願望のもとに
変形している場合が多いです。

No.5 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/04/04 17:37

ーーーー

いやはや豪華なＭＥＭＢＥＲです。
推測　どなたも　(log｜tanx｜)'=　はみえている。
推測　なのに、どなたも　(log｜tanx｜)'=　に言及されない、理由は＜いつでも見えるはずはなく、基本を幾つか組み合わせた思考をしなさい。＞としか読めないのです。
ーー
本問題の基本とは
（１）　
∫(cosA/sinA)dA=ーlog｜cosA｜ または
∫(sinA/cosA)dA=log｜sinA｜
（２）
１を【（cosA）^2】+【（sinA）^2】 　とよむ。
＃１様と＃２様の解法は（１）（２）で充分となります。
ーー
（３）
分母・分子に同じものを掛ける。
本問題では
1/(sinA)(cosA)
=2/(2sinAcosA)
=2/sin2A
=2(sin2A)/(sin2A)
=2(sin2A)/(sin2A)(sin2A)
=2(sin2A)/(1-cos2A)(1+cos2A)
=【(sin2A)/(1-cos2A)】+【(sin2A)/(1+cos2A)】
=【log｜(1-cos2A)｜】ー【log｜(1+cos2A)｜】
=(1/2)【log｜(1-cos2A)｜】ー(1/2)【log｜(1+cos2A)｜】
=(1/2)【log｜(1-cos2A)/(1+cos2A)｜】
　半角の公式を適用して、
=(1/2)【log｜(tanA)^2｜】
=結果　となり　＜（３）分母・分子に同じものを掛ける。＞なる技法
が加味されています。これが＃３様の解法です。
ーー
最後に＃４様の技法は、＜最終兵器＞とも言えるもので、計算は煩雑になりますが、基本は同じ様なきがします（記憶があります）。tan(x/2)=t　と　置いて　＜解く＞と言うより＜秘密の解明＞と言う観点で検証して、締めます。

括弧の多用緩和する。ためにＡ、Ｂ、Ｔを使用。また若干、表記が曖昧になる事も承知されたい。

P=∫（1/sinAcosA）dA

A=2B と置く、
sin2B
=(2sinBcosB)/(cosA)^2+(sinA)^2)・・・（２）使用
=2tanB/(1+tanB^2)
　　　＜tanB=tan(A/2)=T＞
=(2T)/(1+T^2)
また
cos2B=((cosA^2)-(sinA^2))/(cosA)^2+(sinA)^2)
=(1-tanB^2)/(1+tanB^2)
=((1-T^2)/(1+T^2)

詳細は略するがこの結果は重要・・・（＃）
sinＡ=(2T)/(1+T^2)
cosＡ=((1-T^2)/(1+T^2)・・・著名な媒介変数表示

tan(A/2)=T
dA(1/2)(1/((cos(A/2))^2)=dT
dA(1/2)(1+tan(A/2))=dT
dA(1/2)(1+T^2)=dT
dA=dT*2*(1/(1+T^2))

また
（1/sinAcosA）dA
=【(1+T^2)(1+T^2)/2T(1-T^2)】【dT*2*(1/(1+T^2))】
=【(1+T^2)/T(1-T^2)】dT
ここで部分分数分解
【(1+T^2)/T(1-T^2)】=(D/T)+(E/(1-T))+(F/(1+T))
両辺にT(1-T)(1+T)をかける。
(1+T^2)=D(1-T)(1+T)+E(1+T)T+F(1-T)T
両辺に０を代入　１＝Ｄ
両辺に１を代入　２＝２Ｅ
両辺にー１を代入　２＝－２Ｆ

Ｐ＝∫（1/sinAcosA）dA
＝∫【(１/T)＋(１/(1-T))－(１/(1+T))】dT
＝【log｜T｜－log｜1-T｜－log｜1+T｜】
＝【log｜T/(1-T^2)｜】
＝【log｜２T/(1-T^2)｜－log｜２｜】
　　　＜倍角の公式使用＞
＝【log｜tanA｜－log｜２｜】
＝log｜tanA｜＋（積分定数）
ーー

No.4 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2007/04/03 21:57

三角関数の分数関数の積分は、どうしてもわからなければ最終手段として、tan(x/2)=t と置換すると、tの分数関数の積分になって、部分分数分解すれば積分できます。

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2007/04/03 19:17

三角関数が絡んだ積分にはいくつかのパターンがあります．

この場合は部分分数展開（の変種）です．

1/(sin(x) cos(x)) = cos(x)/sin(x) + sin(x)/cos(x)

こうすれば，原始関数（の一つは）は
log|sin(x)| - log|cos(x)| = log|tan(x)|
なのは対数微分から自明です．

いくつかのお約束の解き方（いわゆる定石）があるのですが，
三角関数の比較的簡単な式が分母にある場合は
部分分数から対数微分にもっていくようなことを考えることが
あります．今回はこのケースです．
傾向としては，三角関数が分母にあると
対数微分を経由して対数がでてくることがよくあります．

他にも有名なのは，t=tan(x)とかt=tan(x/2)とおいて
置換積分をするタイプです．
これは計算はかなりしんどいことが多いのですが，
かなり適用範囲が広い手です．

あとは三角関数の諸公式を用いて
「知ってる形に無理やりもっていく」のも
よくでてきます．

部分分数展開の質問でも「定石」というような表現をされていますが，
「定石だから覚える」というのを出発点としても
最終的には，この手のものはひたすら計算訓練をして，
直観が働くレベルまでにするのが理想です．

おまけ：1/sin(x)，1/cos(x) の積分できますか？
＃解法は一つではありません

No.1 回答者： age_momo 回答日時： 2007/04/03 18:48

ぱっと見て感じたのは

1/sinxcosx={(sinx)^2+(cosx)^2}/sinxcosx=sinx/cosx+cosx/sinx

∫1/sinxcosx dx=∫(sinx/cosx+cosx/sinx)dx
=log|sinx|-log|cosx|
=log|tanx|

同じ結果になりました。。。。