速度算

Question

数学の問題です。よろしくお願い致します。

問題
家とスーパーの往復で、行きの平均時速をXkm, 帰りの平均時速をYkｍとするとき、往復の平均時速Zkmは次の式で表される。
1/Z=1/2(1/X+1/Y)
Nさんは家とスーパーの間を２往復した。１往復目は自転車で、家からスーパーに行くときは平均時速10km、スーパーから家に帰るときは平均時速８．０kmであった。２往復目は車に乗り、家からスーパーに行くときは平均時速４０km、スーパーから家に帰るときは平均時速５０kmであった。２往復全体での平均時速は何kmか。

私は、与式より１往復目の平均時速と２往復目の平均時速を求め、２で割りました。その結果26.666…でした。

が、解答は、
１往復目を往路、２往復目を復路と考えて、与式をまとめる。
全行程の平均時速をＺとすると、
1/Z=1/4(1/10+1/8+1/40+1/50)=27/400KM/時

となっていました。
でも、私はこのやり方がよく理解できません。

そもそも問題の与式もどうしてその式になるのかわかりませんし、
それを使った解答で、どうして、1/4となっているのかもわかりません。

どなたか教えてください！よろしくお願いします！
補足が必要であれば、させていただきます。

precog · Accepted Answer

確かにわかりにくい式ですが、解法が与えられているので、これを使うのが原則です。式が納得出来なくても解けます。独自の解法を持ち込んではダメです。

>私は、与式より１往復目の平均時速と２往復目の平均時速を求め、２で割りました。その結果26.666…でした。

時速を足して2で割ったらダメですよね。それでは正確にたどりつけないために、式が与えられているわけです。本来であれば、この式が与えられていなくても正解にたどり着けないとダメ (小学生レベルの問題です) なんですが、問題の難易度を下げるために式が与えられているのだから、与えられた式でとかないと損しますよ。

1往復目:
1/a = 1/2(1/10+1/8)

2往復目:
1/b = 1/2(1/40+1/50)

ここで、平均時速のさらに平均を求めるため、再度、与式を適用。

総平均:
1/c = 1/2(1/a+1/b) = 1/2(1/2(1/10+1/8)+1/2(1/40+1/50))
=1/4(1/10+1/8+1/40+1/50)

わかりました?

以下はおまけ。式の解説です。

>そもそも問題の与式もどうしてその式になるのかわかりませんし、

あなたの理論の、時速を平均するという意味は、半分の時間をXで進み、もう半分の時間をYで進むという意味ですよね?

例えば、X=10, Y=8とおいて、合計2時間進むとすると、18kmの距離となり、平均時速は確かに9km/hとなりますが、10kmを10km/hで進み、8kmを8km/hで進むという条件となりますから、折り返し地点から1km戻ってから時速8kmに落とさないと、計算に当てはまらなくなります。

問題のシチュエーションは、半分の距離をXで進み、もう半分の距離をYで進むというケースです。よって、平均を求めるためには、それぞれの所要時間を計算して平均する必要が有ります。

9kmを10km/hで進むと9/10時間かかり、9kmを8km/hで進むと9/8時間かかりますので、合計時間は9/10 + 9/8 = 81/40 = 2.025時間となり、あなたの理論と実際にはずれがあることがわかります。

距離の割合は決まってますので、時間そのものが具体的に出てこなくても平均時速を出すことは可能で、そこを整理した式が与式です。

逆数で計算すべきか、そうでないかは良く出てくる問題なので慣れましょう。

kkkk2222 · Answer

＞＞1/Z=1/2(1/X+1/Y)
この式は何なのでしょうか？
　　（距離、時間、速度）の関係は、
距離＝速度＊時間
　　この式でさへ時には曖昧になります。
　　面倒でも単位を付けると曖昧さが解消出来ます。
距離（Ｋｍ）＝速度（Ｋｍ／ｈ）＊時間（ｈ）、
　　左辺と右辺で、単位が一致します。
２地点の距離を　Ａ
往路にかかる時間Ｈ１
往路の速度　Ｘ
　　　　　　　（１）これでＡ＝Ｈ１＊Ｘ
復路にかかる時間Ｈ２、
復路の速度　Ｙ
　　　　　　　（２）これでＡ＝Ｈ２＊Ｙ
往復の距離　２Ａ
往復の時間　Ｈ１＋Ｈ２
往復の速度　Ｚ
　　　　　　　（３）これで２Ａ＝（Ｈ１＋Ｈ２）＊Ｚ
ここで＜思考はＳＴＯＰし、形式的な計算をします。＞
（１）より、Ｈ１＝Ａ／Ｘ、（２）より、Ｈ２＝Ａ／Ｙ
（３）より、（Ｈ１＋Ｈ２）＝２Ａ／Ｚ

最終式は、（２Ａ／Ｚ）＝（Ａ／Ｘ）＋（Ａ／Ｙ）
此の式は、意味が判りやすいです。もし、２地点の距離を１とできるならばＢＥＳＴであり、形式的にも
（４）　　　　　（２／Ｚ）＝（１／Ｘ）＋（１／Ｙ）
両辺を２で割る必要はありませんが、貴殿の見た式は２で割ってあります。
ーーー
さて本問題では、往、復、往、復ですので
　　　　　　　（４）式がふたつ必要です。
　　　　　　　（２／Ｚ）＝（１／Ｘ１）＋（１／Ｙ１）
　　　　　　　（２／Ｚ）＝（１／Ｘ２）＋（１／Ｙ２）
（５）　（４／Ｚ）＝（１／Ｘ１）＋（１／Ｙ１）＋（１／Ｘ２）＋（１／Ｙ２）
この式に、よっつの数値、１０、８、４０、５０を代入すると、
（６）　（４／Ｚ）＝（１／１０）＋（１／８）＋（１／４０）＋（１／５０）
　　　　あとは、分数計算を確実に行えば、
Ｚ＝４００／２７（Ｋｍ／時間）とでます。

（貴殿の力はある程度は既知のため、無礼ですが）
この問題を算数（算術）として解くならば、
文字の使用を禁止されているので、
（４／○）＝（１／１０）＋（１／８）＋（１／４０）＋（１／５０）
こじ付けですがＯＫとなります。
＜平均時速＞に関しては、異論がありますが、今回は止めます。　　
ーーー

Ishiwara · Answer

＃６です。
私の方法と「与式」の関係を述べないと、質問者さんの疑問に答えたことになりませんよね。しかし‥
私の方法を式で表現して、それと「与式」をジッと見比べてください。同じことを言っているはずです。そういうことも、良い数学的訓練になります。
くれぐれも「最初の往復が往路、次の往復が復路」などという「数学的にセンスの悪い」考え方をしないように。要するに、同じ道を４回通った、ということであって「どっち向きに？」「だれが？」「何に乗って？」「順番は？」などという「不要なもの」を早く頭から除くことが、数学と仲よしになる近道です。

Ishiwara · Answer

以前にも「平均時速」で議論が沸騰してしまったことがあります。

私は「平均時速」という用語がよくないと思います。これを「時速の単純平均」だとカン違いをした人を責めるわけにはいきません。「時間の重みつき平均速度」などと呼べばいいのでしょうが、それも厄介です。例えば「総合時速」といってみませんか。そうすれば「総合距離」を「総合時間」で割ったものだ、ということがほぼ自明です。

さて、この問題では「家からスーパーまでの距離」が書いてありません。これが「何キロでも構わない」ということを直観的に理解するには、多少の数学的訓練が要りますが、ここでは２００キロメートルとしましょう。ずいぶん遠いスーパーで、買いものにも骨が折れますが、１０、８、４０、５０のどれでも割り切れる数を選んでみました。

すると、所要時間は２０＋２５＋５＋４＝５４時間になります。したがって、８００キロメートルを５４時間で移動したことになります。あとは、簡単ですね。

syouji_08 · Answer

平均速度とは、進んだ距離に対して移動時間で割ったものです。
平均速度と平均速度の和を２で割っても平均速度にはなりません。
この点に関しては、間違いやすいので、注意する必要があります。

もう一つ重要なのは、算数レベルでの解法であれば、片道の距離は何ｋｍ
であるかを予め仮定しておく事です。中学の数学レベルであれば、
片道の距離を適当な文字でおく事です。
質問者さんは文字を使っているので、ここでは、片道の距離をｘとおきます。

すると、

移動距離の総和－－－　４ｘ
移動時間の総和－－－　ｘ／１０＋ｘ／８＋ｘ／４０＋ｘ／５０

となるので、

移動距離の総和÷移動時間の総和より、平均速度を求めると、

４ｘ÷（１／１０＋１／８＋１／４０＋１／５０）ｘ
＝４÷（１／１０＋１／８＋１／４０＋１／５０）
＝４００÷（１０＋１２．５＋２．５＋２）
＝４００／２７ｋｍになります。


＞1/Z=1/4(1/10+1/8+1/40+1/50)=27/400KM/時

この場合は求めるべき平均速度をＺとおいて、
片道の距離を１とします。
そうすると、
移動時間の関係式は以下のようになりますので、
４／ｚ　＝　１／１０＋１／８＋１／４０＋１／５０
より、両辺を４で割ると、
１／ｚ　＝　１／４（１／１０＋１／８＋１／４０＋１／５０）

また、移動時間の和の１／４は１／ｚに等しいので、上記の等式が成立する
という捉え方もできます。
これは平均時速ｚで常に走ったと仮定すると、片道の移動時間である１／ｚは常に等しくなり、１／１０＋１／８＋１／４０＋１／５０の和を均等にするには４で割ればよい事が分かりますね．．。

komimasaH · Answer

貴方の方法では平均速度は出ません。
問題を非常に単純化して考えてみます。
自宅からスーパーまで２ｋｍあったとします。
自宅からスーパーまで１ｋｍ／時で、
帰りは２ｋｍ／時で帰ったとします。
・貴方の方法では往復の平均速度は（１＋２）／２＝１．５ｋｍ／時
・往復でかかった時間を計算して、全体で動いた距離
　（２ｘ２＝４ｋｍ）を割るという本来の平均速度の定義で
　計算してみます。
　かかった時間＝往路（２／１）＋復路（２／２）＝３時間
　平均速度＝４／３＝１．３３３．。。。ｋｍ／時
この単純な例でお分かりと思いますが、こういう問題は平均速度の
定義に立ち戻って考えるべきで、平均という言葉に引っ張られて
単に平均をとるようなことはしないことです。
なお、最初の式も、別に出題者に与えられなくても分かります。
それもわなのひとつかもしれませんね。
なお、わからないときは、上のように、非常に単純な例を作って
考えると理解しやすいです。

precog · Answer

No.2です。すいません誤植です。

>それでは正確にたどりつけないために、

それでは正解にたどりつけないために、

でした。一応念のため。

redowl · Answer

仮に家　スーパー間の距離をxメートルとすると
それぞれかかった時間は、

x ／１０　　x／８　　　x／４０　　x／５０　この時間の総和が、２往復の時間にあたり
２往復で移動した距離は　　4x

距離／時間＝速度　　なら　　4x　／（x ／１０、　x／８、　x／４０、　x／５０）の和=Z

式の変形　　１／z＝　（１／４x）（x ／１０、　x／８、　x／４０、　x／５０）
xが約分されて・・・

速度算

確かにわかりにくい式ですが、解法が与えられているので、これを使うのが原則です。

＞＞1/Z=1/2(1/X+1/Y)

＃６です。

以前にも「平均時速」で議論が沸騰してしまったことがあります。

平均速度とは、進んだ距離に対して移動時間で割ったものです。

貴方の方法では平均速度は出ません。

No.2です。

仮に家 スーパー間の距離をxメートルとすると

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