なんであんなに早いの？

こんにちは。
今年受験の中３なのですが、どうしても疑問に思った事があります。
なので、質問させてもらいます。
それは、平方根の勉強中の事です。みんなは塾に行ってますが、僕は塾などに行かず独学で勉強しています。
平方根の　a√bの形を√aの形に直す問題は簡単に出来ますが、
例
　3√4 は　3×3＝9 　　9×4 よって　√36

というのは簡単ですが、
問題はこの逆の　√aをa√bの形に直すということです。
先生は、素因数分解をすれば出すことが出来ます。とか言ってましたが、大変です。
ある日、先生が「順番に当てます」とか言ってみんなに当てていましたが、みんなは、√48は√108 は？の問題に答えをすぐに答えられていました。
しかし、なぜあんなに早いのでしょうか？頭の中で素因数分解するとしてもはやすぎます。なにかの裏技でしょうか？それとも、覚えてる？

No.4 回答者： angrox 回答日時： 2007/05/13 11:07

たしかに根号の中を簡単な数字にするには素因数分解を使えば楽です。

でも時間がかかります。
計算を早くするコツは完全に素因数分解しないことです。
例えば質問の中にあった、√48は√(16×3)と書くことも出来ます。
√16＝4なので√48＝4√3です。
コツとしては根号の中が3の倍数なら3×□の形に直すと早く計算できます。
あとは12の二乗まで、6の三乗までを覚えておけば計算は格段に速くなります。根号の中の数字の下2つが25，50，75なら絶対に25で割れるので5√□の形になります。

No.3 回答者： Uginx 回答日時： 2007/05/13 11:05

多分、覚えているのだと思いますが・・・

√48＝√16 x √3＝4√3
√108＝√36 x √3＝6√3

受験がんばってくださいね、応援しております。

No.2 回答者： dakedakepuru 回答日時： 2007/05/13 10:59

20年前の経験ですが、おそらく・・・。

4×4＝16、5×5＝25、6×6＝36などの倍数になっていることが多いのでは？
4、9、16、25、36、49、64、81などは平方数と呼ばれます。つまり、これらの倍数だと√の外に出せる数が2、3、4、5、6、7、8、9に決まりますよね。
ご質問の例だと
√48＝√16×3＝4√3
√108＝√36×3＝6√3
となりますね。これを本能的に気づく人は数学に強い人かもしれません。