No.2ベストアンサー
- 回答日時:
√100 + x
ではなく
√(100+x)
ですよね?
100+x = 100(1 + x/100)
ここで、1 + x/100 は、
1+x/100 = (1 + x/200)^2 - x^2/40000
なので、x^2/40000 が十分小さければ、
1+x/100 ≒ (1 + x/200)^2
よって
100+x ≒ 100(1 + x/200)^2
= (10 + x/20)^2
よって、
√(100 + x) ≒ (10 + x/20)^2
となります。
上記の計算途中に現れた
「x^2/40000 が十分小さければ」
のところが、題意ですね。
(1 + x/200)^2 と x^2/40000 とを比較すると、
(1 + x/200)^2 が少なくとも1以上の数であり、
x^2/40000 は、1より非常に小さい数です。
両者の比を論ずればよいと思います。
この回答への補足
すみません、√(100+x)です!
とてもわかりやすい説明ですが、(10+x/20)^2=10+x/20と考えてよろしいのでしょうか?
No.4
- 回答日時:
#1です。
補足として、剰余項の上界から誤差の限界を決める方法を記しておきます。ただし、この方法より精度の良い誤差の計算があればそちらを使ってください。
(誤差の限界)
=|[n=2→∞]Σ[ (-1)^(n-1) (2n-3)!! x^n / {n! 2^n 10^(2n-1)} ]|
=10×| [n=2→∞]Σ[ (2n-3)!!/n! (-x/200)^n ] |
<10×| [n=2→∞]Σ[ 2^n (-x/200)^n ] |
=10×| [n=2→∞]Σ[ (-x/100)^n ] |
=10×(-x/100)^2×1/{ 1-(-x/100) } |
=x^2/{ 10(100+x) }
<1/1010 (∵x^2/{10(100+x)}は 0<x<1 で単調増加。)
このことから、√(100+x)≒10+x/20 と近似したときの誤差は x が大きくなるに従って大きくなり、せいぜい 1/1000 程度であるといえます。
No.1
- 回答日時:
√(100+x) をx=0周りでテイラー展開してください。
すると、次のような式が得られます。
√(100+x)
=10+x/20-x^2/(8・10^3)+x^3/(16・10^5)-・・・・
=10+x/20 + [n=2→∞]Σ[ (-1)^(n-1) (2n-3)!! x^n / {n! 2^n 10^(2n-1)} ]
ここで、0<x<1 ならば、xの1次の項までの近似として、
√(100+x) ≒ 10+x/20
が使え、そのときの誤差は、剰余項である
[n=2→∞]Σ[ (-1)^(n-1) (2n-3)!! x^n / {n! 2^n 10^(2n-1)} ]
となります。
あとは、必要に応じて、剰余項の上限か上界を求めたらよいと思います。
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