近似値、誤差の限界について

0<x<1のとき、
√100+xの近似値として、10＋x/20をとることができる。
その理由を説明し、誤差の限界を調べよ。

この問題の取っ掛かりがわかりません。
数値解析の教科書を探してもみつかりません。
まずはじめに何をすればよいのでしょうか？

No.1 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2007/06/20 14:50

　√(100+x) をｘ=０周りでテイラー展開してください。

　すると、次のような式が得られます。

　　√(100+x)
　＝10+x/20-x^2/(8・10^3)+x^3/(16・10^5)-・・・・
　＝10+x/20 + [n=2→∞]Σ[ (-1)^(n-1) (2n-3)!! x^n / {n! 2^n 10^(2n-1)} ]

　ここで、０＜ｘ＜１　ならば、ｘの１次の項までの近似として、
　　√(100+x)　≒　10+x/20
が使え、そのときの誤差は、剰余項である
　　[n=2→∞]Σ[ (-1)^(n-1) (2n-3)!! x^n / {n! 2^n 10^(2n-1)} ]
となります。
　あとは、必要に応じて、剰余項の上限か上界を求めたらよいと思います。

この回答へのお礼

わかりやすい回答ありがとうございました！
コレで解決しました！！

お礼日時：2007/06/21 23:27

No.2 ベストアンサー 回答者： sanori 回答日時： 2007/06/20 14:50

√１００　＋　ｘ

ではなく
√（１００＋ｘ）
ですよね？

１００＋ｘ　＝　１００（１ ＋ ｘ／１００）

ここで、１ ＋ ｘ／１００　は、
１＋ｘ／１００　＝　（１ ＋ ｘ／２００）^2　－　ｘ^2／４００００
なので、ｘ^2／４００００　が十分小さければ、
１＋ｘ／１００　≒　（１ ＋ ｘ／２００）^2
よって
１００＋ｘ　≒　１００（１ ＋ ｘ／２００）^2
　＝　（１０ ＋ ｘ／２０）^2
よって、
√（１００ ＋ ｘ）　≒　（１０ ＋ ｘ／２０）^2
となります。

上記の計算途中に現れた
「ｘ^2／４００００　が十分小さければ」
のところが、題意ですね。

（１ ＋ ｘ／２００）^2　と　ｘ^2／４００００　とを比較すると、
（１ ＋ ｘ／２００）^2 が少なくとも１以上の数であり、
ｘ^2／４００００ は、１より非常に小さい数です。
両者の比を論ずればよいと思います。

この回答への補足

すみません、√(100+x)です！

とてもわかりやすい説明ですが、(10+x/20)^2＝10+x/20と考えてよろしいのでしょうか？

補足日時：2007/06/20 15:28

No.3 回答者： sanori 回答日時： 2007/06/20 16:04

はい。

書き間違えました。（笑）
ごめんなさい。

正しくは

よって、
√（１００ ＋ ｘ）　≒　１０ ＋ ｘ／２０
となります。

でしたね。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
わかりやすくて、たすかりました！！

お礼日時：2007/06/21 23:28

No.4 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2007/06/20 18:57

　＃１です。

　補足として、剰余項の上界から誤差の限界を決める方法を記しておきます。ただし、この方法より精度の良い誤差の計算があればそちらを使ってください。

　　(誤差の限界)
　＝｜[n=2→∞]Σ[ (-1)^(n-1) (2n-3)!! x^n / {n! 2^n 10^(2n-1)} ]｜
　＝10×| [n=2→∞]Σ[ (2n-3)!!/n! (-x/200)^n ] |
　＜10×| [n=2→∞]Σ[ 2^n (-x/200)^n ] |
　＝10×| [n=2→∞]Σ[ (-x/100)^n ] |
　＝10×(-x/100)^2×1/{ 1-(-x/100) } |
　＝x^2/{ 10(100+x) }
　＜1/1010　　（∵x^2/{10(100+x)}は 0<x<1 で単調増加。）

　このことから、√(100+x)≒10+x/20 と近似したときの誤差は x が大きくなるに従って大きくなり、せいぜい 1/1000 程度であるといえます。