2次方程式 相対誤差(数値解析)についてです。 2次方程式 P2(x)＝a0x^2+a1x+a2 P

2次方程式 相対誤差(数値解析)についてです。
2次方程式
P2(x)＝a0x^2+a1x+a2
P2(x)=(a0x+a1)x+a2
の係数a0 a1 a2の相対誤差がγ0 γ1 γ2のときP(x)の誤差を決定せよ。但しxの相対誤差をγxとする。また2式の誤差を評価せよ
という問題なのですがどのようにといたらいいのでしょうか

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2021/10/05 13:17

どうも変な話だな。

色々、文脈を端折ってご質問なさってんでしょうかね。

[1] ホントに「2次方程式」の話だとすると、P2(x)=0 をxについて解くんですよ？「xの相対誤差をγxとする」だとか「P(x)の誤差（0に決まってるじゃん）を決定せよ」って、おかしくない？
　2次式だというのならまだしもワカルけど。

[2] |相対誤差|<<1 であることを前提にして線形近似する？いや、そんな前提、勝手に仮定できるんですかね。例えば a0の値が取りうる範囲に0が含まれる場合を考えると、さてどう扱えば「評価」が成立するか。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/10/05 10:43

No.1 です。

サフックス付きだと式を書くのが面倒なので、
上の計算式を
　f(x) = ax^2 + bx + c　　　①
下の計算式を
　g(x) = (ax + b)x + c　　　②
と書きます。

df/dx = 2ax + b
dg/dx = ax + b + ax = 2ax + b
で当然同じなので、もし係数 a, b, c が「誤差をもたない定数」だったら、x の誤差に基づく計算結果の誤差は、①で計算しても②で計算しても同じになります。

ここでは、係数 a, b, c にも誤差があるという条件ですから、その場合に「計算順序、演算の組合せ方」が結果にどう影響するのを評価せよということなのだろうと思います。
「誤差」の話ですから、重箱の隅をつつくような「みみっちい、ほとんど無視できるような」オーダーの話です。

すべて「相対誤差」で与えられているので、①式では
・第1項：a(1 ± γ0) と x^2*(1 ± 2γx) の「乗算」
・第2項：b(1 ± γ1) と x(1 ± γx) の「乗算」
・第3項：c(1 ± γ2)
の各々の結果の「加算」ということになります。

（注）x^2 の相対誤差は
　(1 ± γx)^2 = 1 ± 2γx + (γx)^2
で2次項は省略した。
これは「同じ誤差をもったものどうし」の乗算（2乗）なのでこうなるが、「独立の誤差をもったもの」の乗算は「誤差の組合せ方がランダム」なので、こう単純には行かない。

②式では
・第1項：『a(1 ± γ0) と x(1 ± γx) の「乗算」結果と、a(1 ± γ0) との「加算」』の結果と x(1 ± γx) との「乗算」
・第2項：c(1 ± γ2)
の各々の結果の「加算」ということになります。

幸いなことに、「乗算」と「加算」しかありませんので、あとはシコシコと計算するだけです。
「乗算」と「加算」での誤差の伝播のしかたは、#1 のリンク先などを参照ください。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/10/04 19:33

誤差伝播の考え方に沿って、演算に伴う誤差を評価してください。

↓　誤差伝播
http://www.tagen.tohoku.ac.jp/labo/ishijima/gosa …