誤差の伝播の計算

ｚ=-log_10⁡〖(-a+√(a^2-axy/1000))/２〗
aは定数でx、ｙは変数

ｘ、ｙの誤差がｚに及ぼす影響を調べたいので、上記の式で表されるｙの相対誤差Δy/yをΔx/xとΔy/yを用いて表したいです。
どのように計算すればいのでしょうか？できる限りご丁寧に教えてくださるとうれしいです。

質問者からの補足コメント

• 結局のところΔx/xとΔy/yが同じ係数になっているということは
  「ｘとｙは同程度の精度で求めればよい」ということでしょうか？

    補足日時：2022/04/19 21:16

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/04/13 23:05

x, y は式中に xy というカタマリで出てきますね。

u = xy を経由して誤差を伝播するとやりやすいでしょう。
合成関数の微分を使って、
dz = (dz/du)du = (dz/du){ (∂u/∂x)dx + (∂u/∂y)dy }.
この式を
dz ≒ Δz = (Δz/z)z,
dx ≒ Δx = (Δx/x)x,
dy ≒ Δy = (Δy/y)y
で近似すると、
w = ( - a + √(a^2 - axy/1000) )/２
と置いて
dz/du = (dz/dw)(dw/du)
　　　= { (d/dw)(- ln w)/(ln 10) }{ (d/du)( - a + √(a^2 - au/1000) )/２ }
　　　= { (- 1/w)/(ln 10) }{ (1/2)(1/√(a^2 - au/1000))(1/2)(-a/1000) }
　　　= a/(4000(ln 10) w(2w+a))
より
Δz/z ≒ (1/z)(dz/du){ (∂u/∂x)(Δx/x)x + (∂u/∂y)(Δy/y)y }
　　　= (1/z){ a/(4000(ln 10) w(2w+a)) }{ y(Δx/x)x + x(Δy/y)y }
　　　= (u/z){ a/(4000(ln 10) w(2w+a)) }{ (Δx/x) + (Δy/y) }.
係数 (u/z){ a/(4000(ln 10) w(2w+a)) } は、
個々の x, y に対して(u, w も求めて)計算してください。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2022/04/12 14:19

＞ｙの相対誤差Δy/yをΔx/xとΔy/yを用いて表したいです。

「z の相対誤差Δz/z を Δx/x と Δy/y を用いて表したい」ではないですか？

Δz = (∂z/∂x)Δx + (∂z/∂y)Δy

で表せると思いますが？

No.1 回答者： スペクトルマン 回答日時： 2022/04/11 22:43

ごめんなさい。

私には分かりません。