平方根はなんの役に立つ？

Question

平方根というのはなんの役に立つのですか。
　純粋に学術上のレベルの話でもかまいませんし、実用上の話でもかまいません。
　中高生にでも納得いくようお願いします。

sanori · Accepted Answer

良い質問です・・・けど、つい最近、似た質問に回答しました。


やはり、代表例は三平方の定理でしょうか。
直角三角形△ＡＢＣ（∠Ｂが直角）において、
ＡＣ　＝　√（ＡＢ^2 ＋ ＢＣ^2）



√３の例

正三角形の面積を求めるとき、底辺を正三角形の一辺とすれば、高さは
一辺×２分の√３です。
（三平方の定理を使うと、このように求まります。）


√２の例

用紙のサイズは、
Ａ１、Ａ２、Ａ３、Ａ４、Ａ５、
や
Ｂ１、Ｂ２、Ｂ３、Ｂ４、Ｂ５
などがありますが、
これらは全部、長方形であり、その長辺の長さは短辺の長さの√２倍になっています。

以下、その説明。

たとえば、Ａ４とＡ５の例をとりますと、
Ａ４の紙を半分に切ると、ちょうど長さも形もＡ５になりまして、Ａ４と相似な（＝縦横比が同じな）長方形になります。

このように、半分に切っても相似な長方形になるためには、どうすればよいか？　という式を立ててみましょう。

Ａ５の短辺をａ、長辺をｘ
Ａ４の短辺をｘ、長辺を２ａ
と置くことができます。

相似な長方形にするので、
ｘ／２ａ ＝ ａ／ｘ
両辺に２ａｘをかけて
ｘ^2 ＝ ２ａ^2
よって、
ｘ ＝ √２・ａ
これで、短辺と長辺との比が、
ａ：√２・ａ
つまり、
１：√２
であることを示すことができました。


そのほか、

・振り子の周期と振り子の糸の長さとの関係
　　（昔の時計は、振り子の性質を利用していました。）
　振れる周期は、糸の長さのルートに比例します。
　つまり、糸の長さを２倍、３倍・・・にしていくと、
　振れる周期は√２倍、√３倍・・・になっていきます。

・高いところから物を落下させたとき、手を放してから地面に到達するまでの時間と高さとの関係
　　（落下開始の高さが２倍、３倍・・・になるにつれて、地面への到達時間は√２倍、√３倍・・・）

などがありますが、説明は長くなるので割愛。

banakona · Answer

（以前にも似たような回答をした記憶があるのですが）
２年間の平均変化率を出すときに役立ちます。

例：1年目に１０％増え、2年目に２０％増えたときの平均変化率は何％か。
　答え：１．１０×１．２０＝１．３２　　　・・・（＊）
　　　　１．３２のプラスの平方根は１．１４８９１・・・
　　　　よって約１４．８９％

単純に考えると（１０＋２０）／２＝１５％になりそうですが、これでは１．１５×１．１５＝１．３２２５で、（＊）と一致しません。（ｎ年の平均変化率はｎ乗根で算出できます）

（番外編）暗証番号を決めるのに使えそうです。例えば、生年月日が1990年7月16日なら√900716＝949.0605881・・・で、9490を暗証番号にする。
ただし、このようにそのものズバリにするより、最初の1桁を除外して4906としたり、1桁おきに数字を取り出したりする方がいいでしょう。
√の代わりにlogやsinでもいいんですが、√なら普通の電卓にも大抵ついているのでお手軽です。

fujic-1990 · Answer

某政令指定都市で不動産賃貸業をやっている者です。

　土地の形は複雑怪奇。簡単には面積がでません。

　ところが賃貸借契約を締結する場合には面積を書かなければなりません。それも、１回ごとに必要な面積は変わります。一々測量士に頼んでいたらすごい費用がかかります。で、どうするか？ 

　ルートとか、三平方の定理とかを組み合わせて、小さな三角形に分割して概算すると、おおむね正解がでるわけです。専門家の測量を頼まなくても概算ですが自力で面積を出せます。

　これをいちいち測量してもらっていたら、すでに数百万円の支出となっていたことでしょう。知識はお金の代わりになります。

koko_u_ · Answer

実用上の話は出ているので。他のやつを。

平方根は「数の拡張」のひとつ、と捉えることができます。
自然数( 1, 2, 3, ... ) では「引き算」がすべての「数」に対してできないので 1 - 3 = -2 などの マイナスの数 を導入しました。

整数( ... -2, -1, 0, 1, 2, ... ) では「割り算」がすべての「数」に対してできないので、3 ÷ 4 = 3/4 などの 有理数 を導入しました。

有理数( ... 0, 1, 1/2, 2, ... ) では「２次方程式」がすべての「数」に対してできないので √2 などの 平方根 を導入した。

と捉えることができます。３次方程式を解くには ３乗根 が必要で、４次方程式を解くには ４乗根 が必要です。

よく知られているように５次方程式は ５乗根 を導入してもすべては解けずに、楕円関数などが必要になります。

また、これらの「拡張」に実数が登場しませんが、コイツは上記のような「代数的」拡張とは別方向(数列の極限)で拡張した結果です。

syomegon · Answer

コピーをとる際には必要になります。
例えば「大きさ2倍」にコピーする際には倍率200％ではありません。倍率200％にすると、大きさは4倍になってしまいます。なぜならこの「200％」というのは大きさではなく一辺の長さの比だからです。
1（縦）×1（横）＝１（面積）ですが、2（縦）×2（横）=4（面積）になります。
そのため、面積を2倍に拡大する場合、√2（1.41421356・・・）を使います。
つまり√2×√2=2のため、1.41×1.41≒２となり、コピー機で「大きさ2倍（例えばA4→A3）」にコピーするには200％ではなく141％で設定する必要があります。

平方根はなんの役に立つ？

良い質問です・・・けど、つい最近、似た質問に回答しました。

（以前にも似たような回答をした記憶があるのですが）

某政令指定都市で不動産賃貸業をやっている者です。

実用上の話は出ているので。

コピーをとる際には必要になります。

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