「斜線の部分の面積は全体の図形の何分のいくつか」という問題でわからない問題があります。 中学3年生向

「斜線の部分の面積は全体の図形の何分のいくつか」という問題でわからない問題があります。
中学3年生向けの問題で答えや解説はなく、困っています。
中学生までの知識で解説していただきたいです。

「高さが等しくなるような図形の見方をすれば、底辺比がそのまま面積比になる」
「相似な図形を見つけて相似比を底辺比にする」
というようなことを考えて12番までは解けたつもりなのですが13番の答えがどうしても思いつきません。

よろしくお願いいたします！

質問者からの補足コメント

• わからーーーん

  
    補足日時：2023/11/25 13:21

No.7 回答者： sc348253 回答日時： 2023/11/25 23:29

チェバの定理とメネラウスの定理を使っても可能！

一番上の頂点をA
底辺の左をB
底辺の右をC
斜辺の三角の一番上の頂点をD として
BDの延長線とACとの交点をF
ABの3等分線でAに近い点をG
ADの延長線と底辺BCとの交点をE　とすれば
チェバの定理から
(CF/FA)(AG/GB)(BE/EC)=(1/1)(1/2)(BE/EC)=1
∴BE/EC=2/1
また　メネラウスの定理から
(AG/GB)(BC/CE)(ED/DA)=(1/2)((2+1)/1)(ED/DA)=(3/2)(ED/DA)=1
∴ED/DA=2/3　　　.................(1)
ここで　△BCD と　△ABC は底辺BCが同じ三角形であり
斜辺ADE の比が高さの比に比例する(面積比も比例する)から (1)から
ED:DA=2:3=4:6 であるから
AE:DE=(4+6):4=10:4=△ABCの面積:△BCD=全体:斜線の面積
従って　40% になる！

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/11/25 18:06

中３なら、ベクトル使っていいよね。

大きな三角形の頂点を、図の上,左,右の順に点 O,A,B とする。
また、大きな三角形内部の交点を点 P とする。

P の位置ベクトルについて、内分点公式から
→OP = s(→OA) + (1-s)(1/2)(→OB)
　　　= t(1/3)(→OA) + (1-t)(→OB)
となるスカラー s,t があるが、
→OA と →OB が一次独立だから、係数比較して
s = t/3, (1-s)/2 = 1-t.
一次方程式を解けば、
s = 1/5, t = 3/5.
よって
→OP = (1/5)(→OA) + (2/5)(→OB).

三角形の面積は、外積を使って求められる。
△PAB = (1/2)｜(→PA)×(→PB)｜
だが、外積は線型だから
(→PA)×(→PB) = { (→OA) - (→OP) }×{ (→OB) - (→OP) }
　= { (4/5)(→OA) - (2/5)(→OB) }×{ - (1/5)(→OA) + (3/5)(→OB) }
　= - (4/5)(1/5)(→OA)×(→OA) + (2/5)(1/5)(→OB)×(→OA)
　　+(4/5)(3/5)(→OA)×(→OB) - (2/5)(3/5)(→OB)×(→OB)
　= - (4/5)(1/5)0 - (2/5)(1/5)(→OA)×(→OB)
　　+(4/5)(3/5)(→OA)×(→OB) - (2/5)(3/5)0
　= { - (2/5)(1/5) +(4/5)(3/5) }(→OA)×(→OB)
　= (2/5)(→OA)×(→OB).
よって、
△PAB = (1/2)｜(→PA)×(→PB)｜
　　　= (1/2)｜(2/5)(→OA)×(→OB)｜
　　　= (2/5)・(1/2)｜(→OA)×(→OB)｜
　　　= (2/5)・△OAB.

この回答へのお礼

「中３なら、ベクトル使っていいよね。」
数学得意おじさんが楽しめてるみたいだし、それでいいと思いますよ〜笑

お礼日時：2023/11/25 22:38

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2023/11/25 17:00

40% です

補助線は一番上の頂点から　斜線の　△　の一番上の頂点まで引いたら
わかるでしょう！
メネラウスの定理でもいいし　面積比でもいい
あとは　面積比を組み合わせるだけ！
ヒントは斜線の面積を　6　としてやってください！
今まで解けたなら！

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2023/11/25 16:52

> 高さが等しくなるような図形の見方をすれば

というのは適切な着想ですね。高さを保ったままなら図を変形しても構わないんで、分かりやすく描き直してみる。↓　

で、
a = H/3
b = a/2
c = 2H/2
s + t = W/2
そして、青の三角形と黄色の三角形は相似。

だからtが幾らなのか分かるでしょう。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/11/25 16:34

補足

Bとは底辺の左
Cは右の点のことを指します

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2023/11/25 16:31

12番目までできるあなたなら、

多分つぎのヒントで解けるようになるかと思います
ヒント
三角形の一番高い位置の角の頂点を点A
残りの角を左回りに
点B、点C
と名付けます
ACの中点はD
ABを1対２に内分する点はEとます
DからECと平行な直線をABに向かって引き、新たな交点をFとします。
また、ECとBDの交点はGとします
この補助線を利用して
相似などを考えて
EG対GCを割り出せば
答えにたどり着きます
(メネラウスの定理を知っているなら、それを利用しても良いです)

No.1 回答者： kairou 回答日時： 2023/11/25 13:46

＞「高さが等しくなるような図形の見方をすれば、底辺比がそのまま面積比になる」

面積が 同じなら そうなりますが、それは相似形の関係には なりません。

＞「相似な図形を見つけて相似比を底辺比にする」

なりません！！
例えば、正方形は 全て 相似形ですよね。
高さが 1cm の正方形と、高さが 2cm の正方形では、
辺の比は 1:2 ですが、面積比は 1:4 ですよね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
で、この問題の答えはどうなりますかね？

お礼日時：2023/11/25 16:22