A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
あ、No.1 の部分積分の間違ってんじゃん。
余計なことしなきゃよかった。
最初から y = x - ab/x で置換しよう。
0 = x^2 - yx - ab より、
x = (1/2){ y + √(y^2 + 4ab) },
dx/dy = (1/2){ 1 + y/√(y^2 + 4ab) }.
これを使って、
S = ∫[a,b] cos(x - ab/x) dx
= ∫[a-b,b-a] (cos y)(1/2){ 1 + y/√(y^2 + 4ab) }dy
= (1/2){ ∫[a-b,b-a] (cos y) dy + ∫[a-b,b-a] (cos y)y/√(y^2 + 4ab) dy }
= (1/2){ 2∫[0,b-a] (cos y) dy + 0 }
= ∫[0,b-a] (cos y) dy
= sin(b-a) - 0.
No.1
- 回答日時:
ぱっと見の印象どおり、y = x - ab/x で置換すればいいのだが、
その前に部分積分してから置換すると計算しやすい。
S = ∫[a,b] 1 cos(x - ab/x) dx
= [ x cos(x - ab/x) ]_a,b - ∫[a,b] x (-sin(x - ab/x)) (1 + ab/x^2) dx
= { b cos(b-a) - a cos(a-b) } + ∫[a,b] sin(x - ab/x) (x + ab/x) dx
= (b-a) cos(b-a) + ∫[a-b,b-a] (sin y) √(y^2 + 4ab) dy.
(sin y) √(y^2 + 4ab) は奇関数なので、
S = (b-a) cos(b-a) + 0.
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