積分の問題についてです。 画像の問題の(1)が分かりません。どうやって置換したらこのようになるのでし

積分の問題についてです。

画像の問題の(1)が分かりません。どうやって置換したらこのようになるのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/05/26 22:27

(1)

　sds=dx/(x²+a²) → s²/2=(1/a)tan⁻¹(x/a)+C・・・・①
→ x=a tan(a(s²/2-C))
すると x=0でs=0 なので、C=0となり
　x=a tan(as²/2)・・・・②
①から
　β²/2=(1/a)tan⁻¹(1/a) → β=√{(2/a)tan⁻¹(1/a)}・・・②

βの上限の意味が不明だが、a → +0 の時、β → ∞　だから
上限は無い。

(2)
②から
　dx=a{1/cos²(as²/2)}as ds={a²s/cos²(as²/2)}ds
　I₂=∫[0→β] {1/( a³/cos³(as²/2) )}{a²s/cos²(as²/2)}ds
　　=∫[0→β] (1/a)s cos(as²/2)ds
したがって
　f(s)=(s/a)cos(as²/2)

　f'(s)=(1/a)cos(as²/2)-(s/a)sin(as²/2) as
　　　=(1/a){cos(as²/2)-as²sin(as²/2)}=0
→ tan(as²/2)=1/(as²)

この左辺 tan(as²/2)は as²について、0 → +∞への単調増加、
右辺は+∞ → 0 への単調減少だから、ただ1つの解を持つ。

また、数値計算により
　as²≒1.3 → s²≒1.3/a
となる。

また、①において 1/a>1 なので tan⁻¹(1/a)>π/4 だから
　β²>(2/a)π/4=π/2a≒1.57/a

したがって、
　β>s
となって、命題を満たす。