数学 面積比が分かりません。

以下の問題について、面積比ＡＨＭ：ＰＨＢＣを教えてください。答えは４：27とわかっているのですが、なぜそうなるのかがわかりません。

わかっていることは、
ＭはＡＢの中点で、ＡＤ平行ＭＨです。
また、ＡＤ＝４　ＢＤ＝６　ＢＣ＝９　です。
ＭＨの延長線上とＢＣの交点がＰです。
線分ＢＤは角Ｂの２等分線です。
△ＡＨＤ∽△ＣＤＢも分かっています。

以上ご教示の程よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/11/29 21:04

∠AHD=90°≠∠CDBだから

△AHD∽△CDBにはなりません

△ABD∽△CDBになります

△AHMの底辺をAMとした時の高さと
△BHMの底辺をBMとした時の高さは等しく
底辺も等しい
|AM|=|BM|
から
△AHMの面積と△BHMの面積は
|△AHM|=|△BHM|
等しいから

|△AHB|=|△AHM|+|△BHM|=2|△AHM|
|△AHB|=2|△AHM|

BDは角∠ABCの2等分線だから
∠ABD=∠CBD
錯角が等しいから
∠CBD=∠ADB
↓これと∠ABD=∠CBDから
∠ABD=∠ADB
△ABDは2等辺3角形だから
|AB|=|AD|
△AHB=(合同)=△AHD
だから
|△AHD|=|△AHB|=2|△AHM|
だから
|△ABD|=|△AHD|+|△AHB|=2|△AHB|=4|△AHM|
|△ABD|=4|△AHM|

△ABD∽△CDBの相似比は4:6=2:3だから面積比は
|△ABD|:|△CDB|=2^2:3^2=4:9
だから
4|△CDB|=9|△ABD|
↓|△ABD|=4|△AHM|だから
4|△CDB|=36|△AHM|
↓両辺を4で割ると
|△CDB|=9|△AHM|

△DHP∽△CDBの相似比は1:2だから面積比は
|△DHP|:|△CDB|=1:4
だから
|△CDB|=4|△DHP|
↓これと|△CDB|=9|△AHM|から
4|△DHP|=9|△AHM|
↓両辺を4で割ると
|△DHP|=(9/4)|△AHM|

|台形PHBC|=|△CDB|-|△DHP|

↓|△CDB|=9|△AHM|
↓|△DHP|=(9/4)|△AHM|だから

|台形PHBC|=9|△AHM|-(9/4)|△AHM|
|台形PHBC|=(27/4)|△AHM|
|△AHM|/|台形PHBC|=4/27
∴
|△AHM|:|台形PHBC|=4:27

この回答へのお礼

詳しく解説してくださってありがとうございました！　そうだったんですね。勉強になります！

お礼日時：2021/11/30 15:22

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2021/12/01 17:55

仮定より

ΔAMH＝1/4*ΔABD
ΔABD=36/81*ΔBCD
ΔBCD=4*ΔDHP
台形PHBC=ΔBCD-ΔDHP=3/4*ΔBCD
ΔAMH:台形PHBC=1/4*36/81*ΔBCD:3/4*ΔBCD
=36:243
=4:27

この回答へのお礼

簡潔なお答えありがとうございました。

お礼日時：2021/12/01 22:01