ベクトルの問題

いつもお世話になってます。
次の問題ですが、途中までは何とか自分で解き進めたのですが(と思いますが)、最後の部分が辿り着けません。ヒントをいただければと思います。

問「△OABに於いて、辺OAを1:3、辺OBを2:1に内分する点をそれぞれDEとし、また、2線分AE、BDの交点をP、線分OPの延長が辺ABと交わる点をFとする。OA↑=a↑、OB↑=b↑とするとき、ベクトルOF↑を、a↑、b↑を用いて表せ。また、AF:FBを求めよ」

途中までの解き方も不自然な点ありましたら、ガンガン御指摘下さい。

点Pを線分AE、BDの内分点とみて、
AP↑:PE↑=s:(1-s)、 BP↑:PD↑=t:(1-t)とすると、
OP↑=(1-s)a↑+(2/3)sb↑…(1)
OP↑=(1-t)b↑+(1/4)ta↑…(2)

よって、OP↑=(1/10)a↑+(3/5)b↑…(3)
点Fは、辺AB上にあるから、実数m、nを用いて、
OF↑=ma↑+nb↑と表せる。但し、m+n=1且つm≧0且つn≧0。つまり、m=1-nであるから、OF↑=(1-n)a↑+nb↑…(4)

また、OFはOPの延長であるから、実数kを用いて、
OF↑=kOP↑=(k/10)a↑+(6k/10)b↑…(5)

(4)(5)を連立させて解き、
OF↑=(1/7)a↑+(6/7)b↑ 終。
で、この次のAF:FBの求め方が分からないのです。
宜しくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： ferien 回答日時： 2012/05/07 23:15

＞OF↑=(1/7)a↑+(6/7)b↑ 終。

＞で、この次のAF:FBの求め方が分からないのです。

ＡＦ：ＦＢ＝ｎ：（１－ｎ）とおくと、
ＯＦ＝（１－ｎ）ＯＡ＋ｎＯＢ
　　＝（１－ｎ）ａ＋ｎｂ
上の式と係数比較すると、
１－ｎ＝1/7，ｎ＝6/7
ｎ：（１－ｎ）＝6/7：1/7＝６：１より、
ＡＦ：ＦＢ＝６：１です。

図からも何となく分かります。どうでしょうか？

この回答へのお礼

あなたは天才です。

出来ればヒントであると嬉しかったのですが…
何はともあれありがとうございました。

お礼日時：2012/05/07 23:19