円を切り取った線分の長さ

Question

座標平面上で円(x-1)^2+(y-3)^2=25が直線2x-y+k=0から切り取る線分の長さが4√5であるとき定数kの値を求めよ 


ご教授お願いします

suko22 · Accepted Answer

まず、図を描いてください。
円の図と直線は傾きが-2で切片がわからないのでとりあえず円との交点ができるように引っ張っておきます。図はだいたいでいいです。

円の中心(1,3)と直線2x-y+k=0との距離をdとすると、点と直線の距離の公式より
d=|2*1-3+k|/√((2^2+(-1)^2
 =|k-1|/√5・・・※1

円の中心から切り取られた線分に向けて垂線を下ろしてください。
その垂線の長さが上記で求めたdになります。

また、その垂線は円の性質から切り取った線分（弦のこのことです）を2等分します。

そして円の中心と弦の両端とを直線で結んでください。

そうすると直角三角形ができると思います。

直角三角形では三平方の定理が利用できます。

直角三角形の斜辺は、円の半径5に等しく、高さは上記で求めた点と直線の距離dに等しく、底辺は弦の2等分の長さ2√5に等しいから、

三平方の定理より、
d^2+(2√5)^2=5^2
dの値は※1だから、代入して
(k+1)^2/5+(2√5)^2=5^2

整理すると、
k^2-2k-24=0
(k+4)(k-6)=0
k=-4,6・・・答え

mazoo · Answer

>原文ママなのですが、私が修正した方がよろしかったでしょうか？

線分は[直線上の二点に挟まれた部分]で定義されるため、弧の部分は線分とは呼びません。問題文にも[直線から切り取る線分]と書かれていますので、線分の定義を知らなくても誤解することはなさそうです。問題文は今のままで大丈夫ですよ。

ereserve67 · Answer

中心(1,3)と直線の距離dは

d=|2-3+k|/√(2^2+(-1)^2)=|k-1|/√5

半径5を斜辺とする他の辺d，辺2√5の直角三角形が円の中にできるので，

d^2+(2√5)^2=5^2

これを解くと，(k-1)^2/5+20=25,(k-1)^2=5^2,k-1=±5　k=1±5=6,-4（答）

B-juggler · Answer

ゴメン確認。

これはどっち？　線分は二つ出るでしょう？

弧　と、直線交点と交点の間。

細かい、そんなの分かりきっているじゃないか？

では通らないからね。問題はきちんと。

何が聞きたいのかをはっきりとさせてください。

とはいえ、この場合、「弧」だと異常に難しい。

円と直線の接点を二箇所出して。

＃直線の式から、ｘ＝・・・（ｋとｙの式）として、放り込めば・・・。

＃おなじく　ｙ＝・・・（ｋとｘの式）として、放り込めば・・。

ｘ、ｙをｋの式として出すことができるね？

当然、ｋの範囲も。

さて、二点間の距離は分かっているんだから（ダイジョウブだよね）、

（二点間の距離）＝４√５　になるように　求めてあげればいい。

何か難しく考えすぎではないだろうか？

まず絵を書くことを進めるけど。

元代数学の非常勤でした。(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

まず、図を描いてください。