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「長さ2の線分NSを直径とする球面Kがある。点Sにおいて球面Kに接する平面の上で、Sを中心とする半径2の4分円(円周四分の一の長さを持つ円弧)ABと線分ABを合わせて得られる曲線上を、点Pが1周する。このとき、線分NPと球面Kとの交点Qの描く曲線の長さを求めよ。」

東大の過去問のようです。解答がわかりません。できるだけ丁寧に教えていただけないでしょうか?

A 回答 (4件)

 各点を次のように配置した直交座標系xyzを考えます。


  点S:原点O, 点N(0,0,2), 点A(2,0,0), 点B(0,2,0), 点K(0,0,1)
 このとき球Kと線分AN,線分BNとの交点をそれぞれA',B' とします。

 ちなみに、このように配置したとき 与えられた図形は次のようになります。【図示の参考用】
  球面K: x^2+y^2+(z-1)^2=1
  弧AB: (2cosθ,2sinθ,0) (ただし、0≦θ≦π/2)
  線分AB: (t,2-t,0)    (ただし、0≦t≦2)

(A) 点Pは弧AB上にあるときを考えます。
   3点N,S,Pを含む平面での断面を考えますと、△NSPと△NKQで ∠PNS=∠QNK,∠NSP=∠NKQ=90° から △NSP∽△NKQ で 相似比はNS:NK=2:1 となります。
   従って、KQ=1 です。
   このことから 2点A',B'の座標はA'(1,0,1),B'(0,1,1)であり、点Qは半径1,中心角90°の円弧上を動くことが分かります。
   従って、 点Pが弧AB上にあるときの点Qの軌跡の長さは π/4 となります。

(B) 点Pが線分AB上にあるときを考えます。
   3点A,B,Nを含む平面ABNを考えますと、線分AB、線分NPはこの平面に含まれますので、線分NPと球Kとの交点である点Qは平面ABNと球Kとの共有部分を移動しています。
   また、平面と球との共有部分は円周になりますので、点Qは円周上の一部(円弧)を移動していることになります。

   さて、平面ABNの方程式は x+y+z=2 と書けますので、点K(0,0,1)と平面ABNとの距離は 点と平面の距離の公式から 1/√3 と求められます。
   点Kから平面ABNに下ろした垂線の足をHとして、3点N,K,Hを含む平面NKHでの断面を考えます。
   △KHNは∠KHN=90°とする直角三角形で、KN=1,KH=1/√3 ですから、三平方の定理から HN=√(2/3) です。
   このことから、点Qが移動する円弧の半径は √(2/3) であることが分かります。

   次に、3点A',B',Nを含む平面A'B'Nの断面を考えます。
   このとき、3点A',B',Nは点Hを中心とする半径√(2/3) の円周上にあり、線分NA'=NB'=√2 です。
   点Hから線分NA'に下ろした垂線の足を点Mとしますと、点Mは線分NA'を二等分しNA'=1/√2 となります。
   従って、cos∠HNM=NM/NH=√3/2 となりますので、∠HNM=30° です。
   △NA'B'は直線NHについて対称ですので、∠B'NH=30° ですから、∠B'NA'=60° となります。   (つまり、△NA'B'は正三角形であることが分かります。)
   従って、中心角と円周角の関係から ∠A'HB'=120° となりますので、弧A'B'の中心角は 120° です。

   故に、弧A'B'は 半径√(2/3),中心角120° の弧ですので、点Pが線分AB上を動くときの点Qの動く軌跡は次のようになります。
     2π√(2/3)×120/360=(2/3)π√(2/3)


 以上のことから 点Qが描く曲線の長さは(A)と(B)の距離を合わせて、次のように表されます。
   π/4+(2/3)π√(2/3)
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この回答へのお礼

丁寧な回答いただきありがとうございました。

お礼日時:2010/10/28 09:57

 ANo.2です。


 計算ミスがありましたね。
 点Pが弧AB上にあるときの軌跡の長さは π/2 です。

 ご指摘ありがとうございます。>#1さん
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#1です。



#2さんが詳しく解説しているので、要点だけ。

NA=NB=AB=2√2なので、△NABは正三角形
球面と線分NA,NBとの交点A',B'はNA,NBの中点になっているので、△NA'B'は1辺√2の正三角形。
よって、△NA'B'の外接円を描くと∠ANB=60°が円周角になるので中心角は120°となります。


なお、円弧ABに対する点Qの軌跡の長さは2π/4=π/2ですから、答えは、
π/2+(2/3)π√(2/3)=(9+4√6)π/18
です。
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この回答へのお礼

わかりやすい解説ありがとうございます。

お礼日時:2010/10/28 09:56

考え方だけ。



球面と平面とが交わる曲線は円になるので、点Pが線分AB上を動くとき、交点Qの軌跡は円弧になります。

また、平面上の半径2の円と点Nとで作られる円錐を考えれば、それと球面とが交わる曲線も円になるので、点Pが円弧AB上を動くときも、交点Qの軌跡は円弧になります。

あとは、球面と線分NA,NBとの交点を求めて、さらに、上記の交わる円の半径と中心角を求めれば、曲線の長さが分かります。

この回答への補足

点Pが線分AB上を動くとき、交点Qの軌跡は円弧・・・そのときの中心角っていくらでしょうか?

補足日時:2010/10/27 21:09
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