ベクトルについて。

Question

「三角形ABCにおいて 次の条件を満たす点Pの存在範囲を求めよ →AP=s(→AB)+t(→AC) 1≦s+t≦２、 0≦s, 0≦t」 この問題をご教授願います。すみません。
 で、ここから先に進めません。一応図を貼っておきます。ここまで考えたのですが。
 で、辺B｀｀｀C｀｀｀が、線分DE上に来ないのです。で、AB＝4cmで、AC＝6cmです。で、s＝1とt＝1の時が、どうしても線分DE上に来ないのです。ご教授願います。すみません。図です。

masterkoto · Accepted Answer

誤差が出る理由はいろいろありますが、あなたの場合は作図に不慣れなようですので、正確な作図ができていないということなのでしょう
(慣れた人が作図しても　例えば定規の目盛りは1mm単位までしかついていませんから0.1ｍｍ単位の世界を正確に測ることは不可能です
ですから、本当に正確な図を描くということは不可能です
また、本来数学が言う直線は幅を持っていません
これが理想的な直線なのですが、図面に現れる直線はどうしても幅を持っていて超細長い長方形にどうしてもなってしまうのです
点も理想的なものは面積を持っていません・・・原子よりも素粒子よりももっともっと小さい1点なのです（突き詰めていくと哲学となり、気の遠くなる話かもしれません・・・）
図面上では非常に小さな円　を点とみなして描くしかありません
図面上の線や点が持つ　幅や、面積は理想世界では０なのです
この関係でどうしても現実世界の図面には理想的な点や線を書くことはできませんから誤差が出てしまうのです
参考例としては
理想的な三角形の内角の和は180度です
これは３つの辺に幅がない理想的三角形の場合の話です
しかし現実世界の三角形では、描かれた三角形の線に幅があるため
現実の三角形は３つの理想的な線ではなく
３つの超細長い長方形で囲まれた図形として描かれることになり
どうしても、内角の和＝ぴったり180°とならないのです
ポイント！：現実世界の図面では　内角の和≒180°
しかしながら、その図面の角度を測定するときにも
角度測定器（分度器）などの精度に限界があるので
図面の三角形の内角の和がはたして何度か
正確に知ることは困難です
そこで、有効数字というものを導入して現実世界での数値の運用を行っています
数学では有効数字をどこまで扱うかわかりませんが、
工学は現実世界を相手とする学問ですから、工学部出身の私としては有効数字の奥深さに結構苦労させられました。

まあ、本題とは話がそれますので、どんなに正確に作図しても誤差が出るのが現実。まして不正確な作図ではずれが大きくなるのは当然と考えておいてください）

で、標準的な解法ですが
冒頭で式変形を施します
s+t=k（kは一定　ただし今回は1≦s+t≦2なので、kは１のケースもあるし　k=1.1 k=1.2・・・k=2のケースなどがありうる）とおくと
→AP=s(→AB)+t(→AC) 
以下ベクトルの矢印は省略)
⇔AP=(k/k){s(AB)+t(AC) }
=k{(sAB+tAC)/k }
=k{(sAB+tAC)/(ｔ＋ｓ)}
ですが
(sAB+tAC)/(t+s)はご存じの通り、内分もしくは外分点の位置ベクトルの公式です
ただし（s,t)の両方ともが正の時は内分、どちらかがマイナスの時は外分

で、s+t=k（一定）とおいているので
t=k-s（＝定数ーs)
ゆえにｓを変化させると連動してtも変化します
例えばs+t=k=1の例では
s=0のとき　t=1-0=1
s=0.1のとき　t=1-0.1=0.9
s=1のとき　t=0といった具合です
おのおの内分比が変わるのでPの位置は変化しますが
いずれもＢＣを内分する位置ベクトルAPの公式であることには違いがないのでＰの位置はｓによらず線分ＢＣ上となります
ゆえに、ｓ＋ｔ＝k=1でこの問題文の条件下では
ＡＰ=k{(sAB+tAC)/(ｔ＋ｓ)}
⇔AP=1{(sAB+tAC)/(ｔ＋ｓ)}={(sAB+tAC)/(ｔ＋ｓ)}より
Ｐが描く軌跡は線分BCであることが分かってしまうのです

これをもっとイメージしやすくするためには
AC=AB+BCより
AP={(sAB+tAC)/(ｔ＋ｓ)}
={sAB+t(AB+BC)}/(ｔ＋ｓ)
=(sAB+tAB+tBC)/(t+s)
={(s+t)AB+tBC}/(t+s))
=AB+tBC　　　・・・s+t=1
もしくは
AP=sAB+tACから直で変形しても
AP=sAB+t(AB+BC)=AB+tBC
となるので、あなたが習得した作図法でtが変化すれば
Ｐの軌跡はBからＣまでの線分であることが一目瞭然だと思います
（s+t=1 s≧0 t≧0 なのでｔの範囲は0≦t≦1)

では、k=1.2の場合はどうかというと
AP=k{(sAB+tAC)/(ｔ＋ｓ)}まで変形して
(sAB+tAC)/(ｔ＋ｓ)　が表すのはBCの内分点
sとtの値が変化すると内分点P'の位置は変わっていく
しかしながら　s,tが変わってもk=1.2は一定なので
s=0,t=1.2のとき　P'はＣと一致
（なぜならば　AP'=(sAB+tAC)/(ｔ＋ｓ)　 にs=0,t=1.2代入で
AP'=1.2AC/1.2=AC)
ゆえにこの時は　AP=1.2AP'=1.2ACより
図面上ではPの位置はACの延長上でACの1.2倍の長さのところとなります
ｓを変化させて　たとえば
s=0.2,t=1では
AP'=(0.2AB+1AC)/1.2=(1AB+5AC)/6
よりP'はBP':CP'=5:1である内分点M(つまりこの時のP'の位置をMとするということ）
このとき　
AP=1.2AP'＝1.2AMだから
Pの位置はAMの延長上でAMの長さの1.2倍の場所
この要領で　sを細かく変化させて調べていくと
いずれの場合もPはAP'の延長上で長さが1.2倍の位置となることがわかり
Pが描く軌跡はＢＣに平行な線分（端点はACの延長とABの延長がこの線分と交わる2点）となりBCよりはk=1.2のときのＰが描く線分のほうが長くなることもわかるはずです

このことを踏まえて　kを１から２まで小刻みに変化させた場合
Ｐが描く軌跡を調べても良いですし
先ほどのs+t=1の時のAC=AB+BCを利用した変形と同じように
AP=sAB+tAC
=sAB+t(AB+BC)
=(s+t)AB+tBC
=KAB+tBC
と変形して
kを細かく設定
その都度tを０から1まで細かく変動させて作図してみる
というようにすると
軌跡が見えてくるはずです

私的には最後の式変形を施しておいてからk,tを変動させて考えるのが
作図が苦手・得意にかかわらず理解しやすくなるのではないかと思いますので
これでやってみると
k=1の時の様子は　先ほど示した通りです
(本来はもっと細かくkの値を刻むべきですが大変なので)次にk=1.2では　
AP=1.2AB+tBC
s+t=1.2 s≧0　t≧0であることに留意して
tの範囲は０から１までではなく
０から1.2までに変更されて 
これに従って作図するとBCの1.2倍の長さの平行線分が描かれるはず

以下同じ要領でkを増やしていく（その際tの範囲が変更されることに留意）
というように考えれば求めるべき軌跡がつかめるはずです

masterkoto · Answer

→AP=0.5(→AB)+0.7(→AC)  の作図の仕方自体は理解されているのだと思います
しかし、今回は誤差があると作図で解決というのは（前回のパターンに比べて）難しいです
おそらく、あなたが図に腑に落ちない点があるのは誤差があるためだと思われます

さて、あなたのように理解不十分な状態ではできるだけs,tの組をできるだけ細かく仮定してその都度作図しましょう　
ということでしたよね

この問題では0≦s, 0≦t　s+tは1以上2以下なので
前回質問の問題と同じように
まずs=0に固定　
このときt=1で作図
次に
t=1.0000・・・01　で作図
tを少し増やして
t=1.0000・・・02で作図
t=1.0000・・・03で作図
というように　tを0.0000・・・01刻みに増やしてt=1から２までその都度作図すると　線分ができる
今度はsを少し増やして
s=0.0000・・・01に固定
s+tの最小値は1なので　今回はt=1ではなく
t=0.9999・・・99から始めて
tを0.0000・・・01刻みで増やして
t=1のときを作図
t=1.0000・・・01　で作図
t=1.0000・・・02で作図
・・・t=1.9999・・・99で作図

この要領で　ｓが２になるまでｓを徐々に増やしていくとなると
軌跡の把握が相当ややこしいはずです

だから前回とは別パターンと考えて別解法を採用するのです

用事ができたので　この問題の標準的考なえ方は次回解答に回します

masterkoto · Answer

B'',C''と説明抜きに言われても不明です
また、作図法をよく思い出してみてください

masterkoto · Answer

ではkを増やしてみましょう
s+t=k=1.2ならどうなりますか？

ありものがたり · Answer

たまたま A(0,0), B(1,0), C(0,1) の場合、
P の座標は (s,t) になりますよね。
1≦s+t≦２、 0≦s, 0≦t で P が描く図形は
台形ですが、これを描くのは易しいと思います。
あとは、一般の A, B, C について、この台形が
(0,0)→A, (1,0)→B, (0,1)→C と移すアフィン返還で
どのような図形へ移されるか考えればよいです。

masterkoto · Answer

結局、s+t=1(k=1)のときの軌跡の図形名は？

stomachman · Answer

[1] まず、別のやさしい問題を考えておきます。
「三角形AXYにおいて 次の条件を満たす点Pの存在範囲を求めよ →AP=a(→AX)+b(→AY)、ただし a+b = 1、a≧0, b≧0」
　要するに「点Pは辺XYの内分点だ」ということですから、点Pの存在範囲（つまり点Pの集合）は点Xと点Yを結ぶ線分（両端を含む）に他なりません。

[2] 元の問題に戻って、
　　z = s+t
と書くことにして
　　a = s/z, b = t/z
を考えると、
　　1≦z≦2
　　a+b = 1
　　a≧0, b≧0
であって、
　　→AP=a(z→AB)+b(z→AC)
です。

[3] ここで、zをある値に固定して考えます。すると(z→AB)というのは、点Aを基準にして考えれば、→ABをz倍に伸ばしたものです。(z→AC)も同様。
　ですから[1]の結果から、
　zをある値に固定したときの点Pの集合（これをP(z)と書きましょう）を考えると、
 P(z)は「Aを基準にして、→ABをz倍に伸ばした点Xと、→ACをz倍に伸ばした点Yとを結ぶ線分（両端を含む）」である
　とわかります。

[4] さて、zは 1≦z≦2であればなんでも良いのでした。つまり、そのようなあらゆるzについてP(z)（すなわち「Aを基準にして、→ABをz倍に伸ばした点Xと、→ACをz倍に伸ばした点Yとを結ぶ線分（両端を含む）」）の合併集合を考えれば良い。
　だから、元の問題が求めている点Pの集合は「Aを基準にして、→ABを1倍に伸ばした点と、→ACを1倍に伸ばした点と、→ACを2倍に伸ばした点と、→ABを2倍に伸ばした点とでできる四角形の（辺と頂点を含む）内点」だとわかります。

masterkoto · Answer

これは　いままで私が解説した問題とは別パターンです
どこが違うかというと
s+t=k（1≦s+t≦2 よりkは１以上２以下の定数）とおくとき
t=s-kと表されるので
変数ｓの変化に連動して、ｔも変化するというパターンなのです（今まであなたが習得したものは　s,tが別々に変化するというパターンでした）

これをふまえ　まずはk=1の時のPの軌跡の様子を考えてみてください

ベクトルについて。

誤差が出る理由はいろいろありますが、あなたの場合は作図に不慣れなようですので、正確な作図ができていないということなのでしょう

→AP=0.5(→AB)+0.7(→AC) の作図の仕方自体は理解されているのだと思います

B'',C''と説明抜きに言われても不明です

ではkを増やしてみましょう

たまたま A(0,0), B(1,0), C(0,1) の場合、

結局、s+t=1(k=1)のときの軌跡の図形名は？

[1] まず、別のやさしい問題を考えておきます。

これは いままで私が解説した問題とは別パターンです

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