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中学生の息子の問題です。二等辺△ABCでAB=AC=5cm、BC=6cmの外接円の半径を求める問題です。類似した問題の回答がありましたが、いまひとつ理解できません。ご回答を宜しくお願いいたします。

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A 回答 (3件)

AからBCに下した垂線の足をH、AH上にある外接円の中心をP(半径をR)とするとAH=4、BH=3であるから、三角形PBHにおいて、


3^2+(4-R)^2=R^2
が成り立ち、これから、
R=25/8.
を得ます。
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この回答へのお礼

初めてこのOK Waveを利用しました。
早朝からの投稿にいち早く対応をいただき感謝申し上げます。
とても良く理解できました。
ありがとうございました。

お礼日時:2014/07/22 17:31

点Aから辺BCに垂線を降ろした交点を点Mとする


△ABCに外接する円の中心(点O)は各辺の垂直二等分線の交点になるので、円の中心はAM上にある
ここで、求める外接円の半径を r とする
△AMCにおいて
AM⊥MCなので三平方の定理より AM=4
AO= r ,OM= 4 - r とおける
△OMCにおいて(OM=4-r,MC=3,OC=r)
三平方の定理より
r=25/8
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この回答へのお礼

初めてこのOK Waveを利用しました。
早速対応をいただき感謝申し上げます。
ありがとうございました。

お礼日時:2014/07/22 17:33

外接円の中心をOとし、OからABに垂線を下ろします。

この垂線
とABの交点をEとします。△OABは二等辺三角形なので、
|AE|=|EB|=2.5 cm です。

△ABDと△AOEは相似なので、
|AO|:|OE|=|AB|:|BD|=5:3
よって|OE|=|AO|*3/5 ・・・(あ)
ここで△AOEについて三平方を使うと
|AO|^2=|OE|^2+|AE|^2
       =|OE|^2+(2.5)^2
これに(あ)を代入すると
|AO|^2=|AO|^2*9/25+(2.5)^2
|AO|^2*16/25=(2.5)^2
|AO|*4/5=2.5
|AO|=25/8
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この回答へのお礼

初めてこのOK Waveを利用しました。
早速の対応をいただき感謝申し上げます。
相似で解く方法もあるのですね。
ありがとうございました。

お礼日時:2014/07/22 17:33

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Q外接円半径を求める!(正弦定理使用不可)

個別指導塾で講師をしている大学生です。
先日中学3年生向けのややむずかしめのテキストを解いていて
恥ずかしながらどう解いていいかわからない問題がありました(T T)

問:辺の長さがそれぞれ3,5,7の鈍角三角形がある。
  この三角形の外接円の半径を求めよ。

私が普通に解くんであれば正弦定理でどうにかなりますが
中学生用ですので使用不可です。
模範解答は三角形をAB=7 BC=3 CA=5の△ABCとすると
CからABに垂線を下ろしその足をHとする。そしてCHの長さを出す。
そのあと弦BCと外接円の中心と円周上の一点(Dとする)を通る三角形を考えると(即ち△DBC)
△DBCと△ACHが相似、ということで外接円半径を求めていました。
しかし正直な話、この解答はどういう発想で出てきたものか見当が付きません。
もう少し自然な解答はないでしょうか。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>もう少し自然な解答はないでしょうか。

図形を扱う場合は、慣れやひらめきは必要です。
従って、その回答は決して不自然とは思いません。
ひとつの定石と思ってよいと思います。

>多少泥臭い解法でもかまいません。

座標を使えば、計算は面倒ですが答えは出ます。2点間の距離の公式さえ理解していれば、ですが。。。
中学3年ですと、習ってないのでしょうか?

A(a、b)、B(0、0)、C(7,0) a>0、b>0とし、外接円の中心をP(α、β)、外接円の半径をRとする。
AB=3、AC=5、R=PA=PB=PC。
これらを連立すれば出ます。


他に、方法があるかも知れませんが。。。。。

Q三平方の定理を用いた三角形の外接円の半径(その1)

中学生の息子の問題です。「△ABCで角B=60°、AC=8√2の外接円の半径を求めよ」といった問題です。類似した問題に対する回答がありましたが、数学は不得手で理解できませんでした。
昨夜は夢にまで問題が出る始末です。ご回答を宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

>昨夜は夢にまで問題が出る始末です。
 良い事です。
 しかし、とにかく図を描いてみること!! キーワードは「60度」です。
 45度,30度,60度,90度は三角形、直角三角形、二等辺三角形の鍵となる角度でしたね。
 直角三角形の他の角が45°の場合、三平方の定理でそれぞれの辺の比は1:1:√2
 直角三角形の他の角が30°(ないし60°)の場合、三平方の定理でそれぞれの辺の比は1:
:√3:2

 図を描いて、一辺BCの長さは固定したまま頂点Aを外接円上のBCと反対側を移動しても、(円周角は一定ですから)60°のままです。そして辺ACまたは辺ABが外接円の中心を通るときに着目すると、∠ABC、∠ACBは円の中心を通る線分の円周角となる点が二箇所あります。

・図を描くときは、できるだけ極端な図を描くこと
・今迄習った記憶のある数字や角度がないか?

 添付図を見れば、すぐ分かると思います。

 文章を読んで場面を想定すること・・・これは数学・算数と言うより国語の力が試されているのです。漫画や映画では、監督のイメージが与えられてしまいますから、文章や会話から、場面を考える必要はありません。そのため、文章や会話から、本質を組み立てる能力は育ちません。
 せっかくの夏休み、絵のない小説をたくさん読んで、その能力を身につけましょう。

 こうして絵を書いてもらっても、身に付かない。
 

>昨夜は夢にまで問題が出る始末です。
 良い事です。
 しかし、とにかく図を描いてみること!! キーワードは「60度」です。
 45度,30度,60度,90度は三角形、直角三角形、二等辺三角形の鍵となる角度でしたね。
 直角三角形の他の角が45°の場合、三平方の定理でそれぞれの辺の比は1:1:√2
 直角三角形の他の角が30°(ないし60°)の場合、三平方の定理でそれぞれの辺の比は1:
:√3:2

 図を描いて、一辺BCの長さは固定したまま頂点Aを外接円上のBCと反対側を移動しても、(円周角は一定ですから)60...続きを読む

Q外接円の半径を求める

三角形の三辺が判っているときに、外接円の半径は求められるでしょうか。
つまり、△ABCの各辺をabcとするとき、その外接円の半径をabcで表すことができるでしょうか。
外接円は1つだけきまるのだから、半径は求められそうに思うのですが、いくら考えてもわかりません。宜しくお願いします。

Aベストアンサー

はい、求められます。
正弦定理と余弦定理を用います。高校範囲です。

正弦定理とは、外接円半径Rとすると、
R=a/2sin∠BAC (1)
ですね。
このsin∠BACをどうやって求めるか?
これは余弦定理を使います。
余弦定理
cos∠BAC=(b^2+c^2-a^2)/2bc (2)
このコサインの値さえ求まれば、サインの値は求まりますよね。
sin∠BAC^2+cos∠BAC^2=1 (3)
の関係がありますから。

よって、最終的には(1)(2)(3)式から、
R=a/2√1-((b^2+c^2-a^2)/2bc)^2
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Q三角形の外接円の半径?

子供に質問されています。
5cm、7cm、10cmの三角形の
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求め方を
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

#3,#4です。
3平方の定理だけ使って解く方法です。

△ABCの頂点の座標を
A(-5,0),B(5,0),C(x,y)とおき
外接円の中心D(0,-a)、外接円の半径Rとおくと
ここで、x>0,y>0,a>0,R>0
このとき
AB=10は△ABCの底辺、yは△ABCの高さとなります。

3平方の定理(ピタゴラスの定理)から
y^2=7^2-(x+5)^2=5^2-(5-x)^2
これを解いて

x=6/5, y=(2/5)√66…(■)

また、3平方の定理から
R^2=a^2+5^2=x^2+(a+y)^2

(■)のx,yを代入してaとRを求めると
a=(65/264)√66,R=(175/264)√66
と出てきます。

Q高校の数学なんですけど二等辺三角形の場合重心、内心、外心は同じところに

高校の数学なんですけど二等辺三角形の場合重心、内心、外心は同じところにあるんですか?図を書きたいのですがわからなくて困っています。

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>二等辺三角形ABCの重心、内心、外心をそれぞれG,I,OとしてABと ACが9、BCが6のAOの長さはどうやったら求められるんでしょうか。

 外心の半径をxとします。
 また、辺BCの中点をMとします。

 すると BM=3 ですから、△OCMにおいて三平方の定理から OM=√(9-x^2) と表せます。
 また、△ABMにおいて三平方の定理から AM=6√2 と表せます。

 AO+OM=AM ですから
  x+√(9-x^2)=6√2  ・・・・★

 両辺を2乗して 2x{x+√(x^2-9)}=81 を得ます。
 この式に式★を代入すると
  2x 6√2=81
 ∴x=27√2/8 =AO


 ちなみに、∠B=θ とおいて 正弦定理でも求められますよ。
  2R=6/sin(π-2θ)=9/sinθ ∴cosθ=1/3, sinθ=2√2/3 ∴R=27√2/8

Q三角形の中に接する半径の等しい2つの円

中学校の幾何の問題ですが、いろいろ考えてみてもどうしてもわからないので教えてください。

辺の長さがAB=13、BC=21、CA=20の三角形ABCの内部で、半径の等しい2つの円が接していて、1つの円はABとBCに、もう1つの円はBCとCAに接しています。
(図を添付します)
この円の半径を求めなさいという問題です。
どうぞよろしくお願いします。

Aベストアンサー

何年生の問題でしょうか?

中3数学の「三平方の定理」を利用すると、半径は42/13と求まります。
ただ今の時期、そこまで授業が進んでいるとも思えません。
なので中2数学までの知識で解く方法があるのかもしれません。

三平方の定理を利用した解法を一応書いておきます。
基本は「三角形に内接する円の半径の求め方」と一緒です。
「実際の△ABCの面積」と「円の半径rを用いて表した△ABCの面積」を求め、
この二つが一致することを利用します。

[1]
点Aから辺BCに向けて垂線AHを引きます(点Hは辺BC上の点)。
そして線分AHの長さを求めます。
このAHの長さを利用して、△ABCの面積を求めます。

[2]
左側の円の中心を点O、右側の円の中心を点O'とおきます。
まず△ABCを次の4つの図形に分割します。

△ABO
△ACO'
△AOO'
台形CBOO'

この4つの図形の面積を、円の半径rを用いて表します。

[3]
[2]で分割した4つの図形をくっつけると△ABCに戻るので、

4つの図形の面積の和 = △ABCの面積

という等式が立ちます。
これをrについて解けば答えがでます。

何年生の問題でしょうか?

中3数学の「三平方の定理」を利用すると、半径は42/13と求まります。
ただ今の時期、そこまで授業が進んでいるとも思えません。
なので中2数学までの知識で解く方法があるのかもしれません。

三平方の定理を利用した解法を一応書いておきます。
基本は「三角形に内接する円の半径の求め方」と一緒です。
「実際の△ABCの面積」と「円の半径rを用いて表した△ABCの面積」を求め、
この二つが一致することを利用します。

[1]
点Aから辺BCに向けて垂線AHを引きます(点Hは辺BC...続きを読む

Q外接円と内接円

もう一つ分からない問題があったので教えてください。
AB=ACである二等辺三角形ABCにおいてBC=2であり、頂点AからBCに下ろした垂線の長さが2であるとする。
このとき△ABCの外接円と内接円の半径を求めよ。
という問題です。
お願いします。

Aベストアンサー

akeboshiさん、こんばんは。
三角関数を使わないでやります。

まず、三平方の定理から、ABとACの長さを求めます。
AB^2=2^2+1^2=5=AC^2
なので、AB=AC=√5です。

まず、内接円の半径から求めます。
内心をIとすると、
△ABC=△ABI+△BCI+△CAI
と3つに分割できます。
内心Iから、それぞれの辺AB,BC,CAまでおろした垂線の長さは等しいので
(それがちょうど半径rになっているので)
△ABCの面積は、
△ABC=底辺2×高さ2×(1/2)=2
△ABIの面積=底辺√5×高さr×(1/2)
△BCI=底辺2×高さr×(1/2)
△CAI=底辺√5×高さr×(1/2)
----------------------------------足すと

△ABI+△BCI+△CAI=(√5+2+√5)r/2=2

これを解いて、r=2/(√5+1)=(√5-1)/2・・・答え

次に、外接円の中心をOとします。
外接円の半径はRとしましょう。

AO=BO=CO=R
なので、△ABOは、二等辺三角形になっています。
さて、この面積は??

OからABにおろした垂線の足をHとします。
△AOHにおいて、三平方の定理を使うと、
AH^2+OH^2=AO^2
(√5/2)^2+OH^2=R^2
OH^2=R^2-(√5/2)^2とおけます。

すると、△ABOの面積は、
底辺をAB=√5
高さはOH=√{R^2-(√5/2)^2}
なので、面積は
√5×√{R^2-(√5/2)^2}×(1/2)・・・(1)

また、底辺をAO=R
高さをBCの半分=1とみることもできるので、
面積はR×1×(1/2)・・・(2)

(1)=(2)より、
R=5/4・・・答え

のように求めることができます。
これらは、高校の数学ですと、三角関数を用いて求めることも可能です。
参考になればうれしいです。頑張って図を描いてみてくださいね!!

akeboshiさん、こんばんは。
三角関数を使わないでやります。

まず、三平方の定理から、ABとACの長さを求めます。
AB^2=2^2+1^2=5=AC^2
なので、AB=AC=√5です。

まず、内接円の半径から求めます。
内心をIとすると、
△ABC=△ABI+△BCI+△CAI
と3つに分割できます。
内心Iから、それぞれの辺AB,BC,CAまでおろした垂線の長さは等しいので
(それがちょうど半径rになっているので)
△ABCの面積は、
△ABC=底辺2×高さ2×(1/2)=2
△A...続きを読む

Q優性の法則、独立の法則、分離の法則の解説やそれぞれの違いを

優性の法則、独立の法則、分離の法則の解説やそれぞれの違いを
教えて下さい。出来れば分かり易く教えて戴ければ幸いです。

Aベストアンサー

もう解決しているかと思いますが、一応回答させてもらいます。
優性の法則は
劣性遺伝子の持つ形質にかかわらず、優性遺伝子が持つ形質が優先的に現れることを言います。

独立の法則と分離の法則は染色体が配偶子に配分されるときの話で、少し似ているので分かりにくいかと思います。
分離の法則から
分離の法則では1対の対立遺伝子に関して考えます。
減数分裂で、相同染色体は別々の配偶子にはいりますよね。だから対になっている対立遺伝子も別々の配偶子に入ることになります。これが分離の法則です。
次に、独立の法則
独立の法則では2対の対立遺伝子について考えます。
たとえば1対の対立遺伝子をAa、もう一対の対立遺伝子をBbとし、AaとBbは別の組の相同染色体にあるとします。そうすると減数分裂で相同染色体が分かれて2つの配偶子に入る時、AaのAは配偶子(1)、aは配偶子(2)に入るとします。このときBbは別の相同染色体にあるので配偶子(1)にBが入る時もあればbが入る時もあります。
このように2対の対立遺伝子が互いに影響しあうことなく対立遺伝子が配偶子に入ることを独立の法則といいます。

ざっと覚えるなら、1組の対立遺伝子に注目した時は独立の法則、2組以上の対立遺伝子に注目した時は分離の法則と覚えておけば差し支えないでしょう。

もう解決しているかと思いますが、一応回答させてもらいます。
優性の法則は
劣性遺伝子の持つ形質にかかわらず、優性遺伝子が持つ形質が優先的に現れることを言います。

独立の法則と分離の法則は染色体が配偶子に配分されるときの話で、少し似ているので分かりにくいかと思います。
分離の法則から
分離の法則では1対の対立遺伝子に関して考えます。
減数分裂で、相同染色体は別々の配偶子にはいりますよね。だから対になっている対立遺伝子も別々の配偶子に入ることになります。これが分離の法則です。
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Q高校生カップルのラブホテル宿泊利用について。

高校生カップルでのラブホテル宿泊の利用について。

知恵袋や色んなサイトで色々調べたのですが、あまり納得出来る結果が出なかったので質問します。
まず、18歳未満は利用禁止だという事はわかっています。私服で行けばバレないとの事なので、私服で彼女と行こうと考えています。(徒歩)
過去の質問を見る限り、高校生が休憩やサービスタイムなどを利用しているのは見かけたのですが・・・。
高校生カップルでラブホテルにお泊りデートは可能なのでしょうか?警察の見回りや、フロントの人から通報されないか、などが心配です。
宿泊料金などはちゃんと調べ済みです。

回答よろしくお願いします!

Aベストアンサー

はじめまして。

仲良くてよいですね☆
まず、前提として私は成人してから初めて行ったので参考にならないかもしれませんが、
参考になれば幸いです。

<私の経験>
・警察の見回り→経験なし
・通報→経験なし(私が最初に使ったのは多分22歳。特に身分確認はありませんでした)

<私の考え>
・バレなければ高校生でのお泊まりは可能(バレてないのですから通報しようがない)
 >通報や確認はホテルの方針にもよるかもしれません。
  変な話、ホテル側ももうけが欲しいですし(汗)
  ただ、悪い事をしてる自覚があると、人間おどおどしやすいのでバレやすいかも。
  徒歩で行く場合はお巡りさんに会うことは考えられる。
  (ホテルうんぬんではなく単なるパトロール中のお巡りさん)
  正義感の強い方がフロントに居れば、身分証明を見せてほしいと言われたり通報されるかもしれません。

ここで、少々小言を。
まず、何かあったときの事を考えて答えを出した方が良いと思います。
「絶対にないです!行ってOK☆」という答えは無いんじゃないかな。
あったとしても、責任を取るのはあなたです。回答者は責任が取れません。

上手く行けば彼女とラブラブな一夜が過ごせます。
失敗すれば警察に呼ばれ学校や家に通報され、あげく彼女との交際も危ぶまれます。

大事な彼女さんですし、傷つけないようにしてあげてほしいな。
彼女と過ごすためにどのように行動すべきか、彼氏としてしっかり考えてみてくださいね♪
自分で考えた結果であれば男らしく行動できると思います!!

頑張ってください☆
彼女さんとお幸せに(^_^)b

はじめまして。

仲良くてよいですね☆
まず、前提として私は成人してから初めて行ったので参考にならないかもしれませんが、
参考になれば幸いです。

<私の経験>
・警察の見回り→経験なし
・通報→経験なし(私が最初に使ったのは多分22歳。特に身分確認はありませんでした)

<私の考え>
・バレなければ高校生でのお泊まりは可能(バレてないのですから通報しようがない)
 >通報や確認はホテルの方針にもよるかもしれません。
  変な話、ホテル側ももうけが欲しいですし(汗)
  ただ、悪い事をしてる自覚があ...続きを読む


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