凸とstarlikeの違い

R^nの部分集合Aを考えます。
Aがstarlikeであることと凸集合であることはどのように違うのでしょうか？
例えばstarlikeだが凸ではない。あるいはその逆を満たすAを作ることは出来るのでしょうか？

AがstarlikeであるとはAの点xが存在して、Aの任意の点とxを結ぶ線分がAに含まれることです。

No.3 ベストアンサー 回答者： rinkun 回答日時： 2007/11/29 09:28

ANo.2さんの回答がまったく理解できない。

何か重大な勘違いをしているのでは?

starlikeは、Aの中のある一点xについてA内の任意の点yとxを結ぶ線分がすべてAに含まれること。
凸は、Aの中の任意の2点x,yについてxとyを結ぶ線分がすべてAに含まれること。
明らかに凸ならstarlikeだが、starlikeで凸でないものはいわゆる星型などいくらでも作れる。

No.4 回答者： 12125j 回答日時： 2007/11/30 00:30

No.2の回答者です。

申し訳ありません、「ある」と「任意」を取り違えました。
No.3の回答が正と思います。

この回答へのお礼

なるほど。定義の違いがわかりました。
ですが部分集合Aはどのように書けばいいのでしょう？

R^nでなくてR^2であれば
例えばアステロイドなどはstarlikeだけど凸ではないですよね。
R^nの場合にAをどう記述すればいいのか…

お礼日時：2007/11/30 15:23

No.2 回答者： 12125j 回答日時： 2007/11/29 01:06

>>AがstarlikeであるとはAの点xが存在して、

Aの任意の点とxを結ぶ線分がAに含まれることです。

上記は凸集合の定義そのものであり、
凸集合の英語訳はConvex Setです。

Starlikeの日本語訳は星型ですが、
>>AがstarlikeであるとはAの点xが存在して、
Aの任意の点とxを結ぶ線分がAに含まれることです。
は成立しません。

この回答へのお礼

お返事ありがとうございます。

配布されたプリントには確かに上のように書いてあったので、
これはきっと凸とstarlikeを書き間違えたということですね。
starlikeの定義は教科書には載っていませんでしたが、
星型の形をしているということだけでいいのでしょうか？

確かに星型は凸にはなりませんが…

お礼日時：2007/11/29 09:04

No.1 回答者： qqqqqhf 回答日時： 2007/11/28 23:25

文字通りstarlikeは星のような図形なんでは。

なので、凸であればstarlike。

starlikeであっても凸とは限らない。