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四角形の2等分線の問題です。

点Pを通り、四角形ABCDを二等分する線を作図しなさいという問いなのですが、どのような考え方をしていいのかわかりません。
等積変形の問題でしょうか。何かヒントや足がかりを教えてください。

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A 回答 (4件)

三角形に等積変形をしてその底辺の中点を求めればいいのでは


ないでしょうか。

・Aを通りPBに平行な直線と直線BCとの交点をEとする
・Dを通りPCに平行な直線と直線BCとの交点をFとする
・EFの中点QをEFの垂直二等分線を引いて求める
「四角形の2等分線の問題です。」の回答画像1
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No.3 です。


No.1 の  >EFの中点QをEFの垂直二等分線を引いて求める 
 は図の通り EFの中点QをPと結ぶ が正解です。
No.1とNo.3 は方法は違いますが結果は同じです。
No.2はPと重心を結んでも面積は2等分されません。
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Aを通りDBに平行な直線と直線CBとの交点をEとする。

 (△DAB=△DEB)
  四角形ABCDの面積=△DECになる。
ECの中点をMとすると△DMC=△DECの半分になる。
Dを通りPMに平行な直線と直線CBとの交点をQとする。 (△DMQ=△DPQ)
  四辺形DPQC=△DMC
ゆえに直線PQが求めるものである。

お絵かき画面が添付できません。
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図のようにPと四角形ABCDの重心Gを結ぶ線の延長線と辺BCとの交点をQとすれば、図に描いたように、線分PQが四角形ABCDの面積を2等分する線分となります。



重心Gは、図に描いたように、「△ABDの重心G1と△BCDの重心G2を結ぶ線分G1G2」上に存在します。またGは「△ACDの重心G3と△ABCの重心G4を結ぶ線分G3G4」上に存在します。

したがって重心Gは、図に描いたように、線分G1G2と線分G3G4の交点として求められます。

個々の△ABD,△BCD,△ACD,△ABCの重心G1,G2,G3,G4は、図に描いたように、それぞれの三角形の中線の交点として求められます。

以上から、図のように個々の三角形の重心G1,G2,G3,G4を中線の交点として描き、線分G1G2と線分G3G4の交点として四角形ABCDの重心Gを求め、点Pと重心Gを結ぶ線分の延長線とBCの交点Qを書けば線分PQが求める四角形ABCDの面積2等分線となります。
「四角形の2等分線の問題です。」の回答画像2
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http://marine.sci.hyogo-u.ac.jp/~hammer/weblog/2006/03/post_11.html

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中点よりも B 寄りならば、辺 AC 上の Q が在る。

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