四角形の２等分線の問題です。

四角形の２等分線の問題です。

点Ｐを通り、四角形ＡＢＣＤを二等分する線を作図しなさいという問いなのですが、どのような考え方をしていいのかわかりません。
等積変形の問題でしょうか。何かヒントや足がかりを教えてください。

※添付画像が削除されました。

No.1 ベストアンサー 回答者： debut 回答日時： 2010/04/21 09:28

三角形に等積変形をしてその底辺の中点を求めればいいのでは

ないでしょうか。

・Ａを通りＰＢに平行な直線と直線ＢＣとの交点をＥとする
・Ｄを通りＰＣに平行な直線と直線ＢＣとの交点をＦとする
・ＥＦの中点ＱをＥＦの垂直二等分線を引いて求める

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2010/04/21 14:00

図のようにPと四角形ABCDの重心Gを結ぶ線の延長線と辺BCとの交点をQとすれば、図に描いたように、線分PQが四角形ABCDの面積を2等分する線分となります。

重心Gは、図に描いたように、「△ABDの重心G1と△BCDの重心G2を結ぶ線分G1G2」上に存在します。またGは「△ACDの重心G3と△ABCの重心G4を結ぶ線分G3G4」上に存在します。

したがって重心Gは、図に描いたように、線分G1G2と線分G3G4の交点として求められます。

個々の△ABD,△BCD,△ACD,△ABCの重心G1,G2,G3,G4は、図に描いたように、それぞれの三角形の中線の交点として求められます。

以上から、図のように個々の三角形の重心G1,G2,G3,G4を中線の交点として描き、線分G1G2と線分G3G4の交点として四角形ABCDの重心Gを求め、点Pと重心Gを結ぶ線分の延長線とBCの交点Qを書けば線分PQが求める四角形ABCDの面積2等分線となります。

No.3 回答者： mb4808 回答日時： 2010/04/21 17:21

Aを通りDBに平行な直線と直線CBとの交点をEとする。

　（△DAB＝△DEB）
　　四角形ABCDの面積＝△DECになる。
ECの中点をMとすると△DMC=△DECの半分になる。
Dを通りPMに平行な直線と直線CBとの交点をQとする。　（△DMQ＝△DPQ）
　　四辺形DPQC＝△DMC
ゆえに直線PQが求めるものである。

お絵かき画面が添付できません。

No.4 回答者： mb4808 回答日時： 2010/04/23 10:57

No.3 です。

No.1 の　　＞ＥＦの中点ＱをＥＦの垂直二等分線を引いて求める　
　は図の通り　ＥFの中点ＱをPと結ぶ　が正解です。
No.1とNo.3 は方法は違いますが結果は同じです。
No.2はPと重心を結んでも面積は２等分されません。