複素数が表す図形の基本事項について。 写真の④の垂直条件についての質問があるのですが、解説にはC→A

複素数が表す図形の基本事項について。

写真の④の垂直条件についての質問があるのですが、解説にはC→Aの平行移動によりD→D'は(δ＋α-γ) にうつる所がなぜそうなるか分かりませんでした。解説お願いします。

質問者からの補足コメント

• 二枚目です。

  
    補足日時：2020/12/04 17:52

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2020/12/04 20:45

平行移動なんて必要ないと思うなあ。

[1] まずは準備。
　平面上の点X,Y,Oを直交座標で
　　X = (X1, X2), Y = (Y1,Y2), O=(0,0)
とする。これらをぞれぞれ複素数ξ,υ,0 ただし
　　ξ = X1 + iX2
　　υ = Y1 + iY2
に対応させる。
　X≠O, Y≠Oのとき、線分OX上の点Kと線分OY上の点L
　　K = Xt (0≦t≦1), L = Ys (0≦s≦1)
をぞれぞれ複素数κ,λに対応させれば、
　　κ = ξt (0≦t≦1), λ = υs (0≦s≦1)
と書けて、これらの線分の方向は上の式ではそれぞれXとY、下の式ではξとυ。
　さて、OX⊥OYとは X⊥Y ということであり、OX∥OYとはX∥Y ということである。ここで、 X⊥Y とはXとYの内積が0だということで、X∥Yってのは XとYが互いに定数倍になっているということ。なので、
　　X⊥Y ⇔ X1Y1 + X2Y2 = 0
　　X∥Y ⇔ X1Y2 = X2Y1
である。Y≠Oのとき、
　　ξ/υ = (X1 + iX2)/(Y1+ iY2) = (X1 + iX2)(Y1 - iY2)/(Y1^2 + Y2^2)
すなわち
　　ξ/υ = (X1Y1 + X2Y2)/(Y1^2 + Y2^2) + i (X2Y1 - X1Y2)/(Y1^2 + Y2^2)
だから、
　　X⊥Y =0 ⇔ ξ/υが純虚数
　　X∥Y ⇔ ξ/υが実数
という対応がつく。
　　
[2] 点A,Bをそれぞれ複素数α, β、線分AB上の点Rを複素数でρと表せば
　　R = A + (B-A)t (0≦t≦1)
が
　　ρ = α + (β-α)t (0≦t≦1)
と書ける。この線分の方向ベクトルは上の式では(B-A)、下では(β-α)。同様に、線分CD上の点Sを複素数でσと表せば
　　S = C + (D-C)s (0≦s≦1)
が
　　σ = γ + (δ-γ)s (0≦s≦1)
と書けて、この線分の方向ベクトルは上の式では(D-C)、下では(δ-γ)。
　で、AB⊥CDというのは、（AやCがどこにあるかは関係なくて）方向が互いに垂直、すなわち(B-A)⊥(D-C)ということ。同様にAB∥CDは、（AやCがどこにあるかは関係なくて）(B-A)∥(D-C)ということ。だから、
　　(B-A)⊥(D-C) ⇔ (δ-γ)/(β-α)が純虚数
　　(B-A)∥(D-C) ⇔ (δ-γ)/(β-α)が実数

No.3 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/12/04 18:07

C→Aの平行移動を γ+ｘ＝α と表すと、ｘ＝α－γ

D→D'は、δ+ｘ＝δ+α－γ

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/12/04 18:01

「x+iy という複素数」は「(x, y) という点」のこと.

ぜ～んぶ「点」で考えればわかる... んじゃないかなぁ.

No.1 回答者： ТдТ 回答日時： 2020/12/04 17:55

ああ、尻が痒い