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A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
平行移動なんて必要ないと思うなあ。
[1] まずは準備。
平面上の点X,Y,Oを直交座標で
X = (X1, X2), Y = (Y1,Y2), O=(0,0)
とする。これらをぞれぞれ複素数ξ,υ,0 ただし
ξ = X1 + iX2
υ = Y1 + iY2
に対応させる。
X≠O, Y≠Oのとき、線分OX上の点Kと線分OY上の点L
K = Xt (0≦t≦1), L = Ys (0≦s≦1)
をぞれぞれ複素数κ,λに対応させれば、
κ = ξt (0≦t≦1), λ = υs (0≦s≦1)
と書けて、これらの線分の方向は上の式ではそれぞれXとY、下の式ではξとυ。
さて、OX⊥OYとは X⊥Y ということであり、OX∥OYとはX∥Y ということである。ここで、 X⊥Y とはXとYの内積が0だということで、X∥Yってのは XとYが互いに定数倍になっているということ。なので、
X⊥Y ⇔ X1Y1 + X2Y2 = 0
X∥Y ⇔ X1Y2 = X2Y1
である。Y≠Oのとき、
ξ/υ = (X1 + iX2)/(Y1+ iY2) = (X1 + iX2)(Y1 - iY2)/(Y1^2 + Y2^2)
すなわち
ξ/υ = (X1Y1 + X2Y2)/(Y1^2 + Y2^2) + i (X2Y1 - X1Y2)/(Y1^2 + Y2^2)
だから、
X⊥Y =0 ⇔ ξ/υが純虚数
X∥Y ⇔ ξ/υが実数
という対応がつく。
[2] 点A,Bをそれぞれ複素数α, β、線分AB上の点Rを複素数でρと表せば
R = A + (B-A)t (0≦t≦1)
が
ρ = α + (β-α)t (0≦t≦1)
と書ける。この線分の方向ベクトルは上の式では(B-A)、下では(β-α)。同様に、線分CD上の点Sを複素数でσと表せば
S = C + (D-C)s (0≦s≦1)
が
σ = γ + (δ-γ)s (0≦s≦1)
と書けて、この線分の方向ベクトルは上の式では(D-C)、下では(δ-γ)。
で、AB⊥CDというのは、(AやCがどこにあるかは関係なくて)方向が互いに垂直、すなわち(B-A)⊥(D-C)ということ。同様にAB∥CDは、(AやCがどこにあるかは関係なくて)(B-A)∥(D-C)ということ。だから、
(B-A)⊥(D-C) ⇔ (δ-γ)/(β-α)が純虚数
(B-A)∥(D-C) ⇔ (δ-γ)/(β-α)が実数
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