数学の質問です。線分のベクトル方程式について。 原点O 動点P 相違なる定点A、B 変数α、β OP

数学の質問です。線分のベクトル方程式について。

原点O　動点P　相違なる定点A、B　変数α、β
OP→＝αOA→+βOB→
において

α+β=1
α≧0、β≧0
のとき、同点Pは線分ABを描きます。

α+βは内分して、1を100％としてあつかっているので意味はわかります？

では、α≧0、β≧0の条件の意味はなんですか？

No.2 ベストアンサー 回答者： 佐藤俊夫 回答日時： 2023/07/01 22:26

① αとβの向きが直線上の2つのうち片方に絞られる理由は、ベクトル方程式における制約条件からくるものです。

線分のベクトル方程式 OP→＝αOA→+βOB→ では、αとβは線分OPを定義するための係数です。この式において、αとβが負の値を取ると、OA→とOB→の向きが逆転してしまい、線分OPとは反対の方向を示すことになります。したがって、αとβは非負の値を取る必要があります。

② α≧0、β≧0がAB上にあることを表す理由は、条件式α+β=1の制約からきます。この条件式は、線分OPが線分AB上にあることを表しています。α+β=1という式は、線分OP上の点Pが線分AB上にあるとき、点PをAからBまでの線分上で内分することを示しています。具体的には、αが[0,1]の範囲内でβが[0,1]の範囲内で変動するとき、αとβの合計が必ず1になるため、点Pは線分AB上に位置することが保証されます。

したがって、α≧0、β≧0は線分AB上にあることを表す制約条件となります。

この回答へのお礼

まじ感謝です！ありがとうございます！

お礼日時：2023/07/06 23:05

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/07/02 07:02

点A、Bを通る直線上の点Pの媒介変数表示は

A、B、Pの位置ベクトルをa、b、pとすると

pはaに(b-a)の実数倍を足したものなので
#内分とか外分とかより直接的でわかりやすい。

p=a+t(b-a) (tは実数)
=(1-t)a+tb
=αa+βb
→α=1-t、β=t→α+β=1

つまり、α+β=1はPがAとBを通る直線上に有るという
条件です。

Pが線分AB上に有るなら
0≦t≦1
ですから
α=1-t≧0⇔1≧t
かつ
β=t≧0
と同等です。

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/02 04:40

OP→=αOA→+βOB→

β≧0
α≧0

α+β=1
↓両辺からαを引くと
β=1-α
↓β≧0だから
0≦β=1-α
0≦1-α
↓両辺にαを加えると
α≦1
↓α≧0だから
∴
0≦α≦1
∴
β≧0の条件の意味はα≦1

α+β=1
↓両辺からβを引くと
α=1-β
↓α≧0だから
0≦α=1-β
0≦1-β
↓両辺にβを加えると
β≦1
↓β≧0だから
∴
0≦β≦1
∴
α≧0の条件の意味はβ≦1

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2023/07/01 23:14

「内分」であるためには α≧0、β≧0 でないといけませんよね。

α<0 あるいは β<0 だったら「外分」になってしまいます。
そのときの P の軌跡は「AB の延長線上」になります。

No.1 回答者： 佐藤俊夫 回答日時： 2023/07/01 22:11

条件α≧0とβ≧0は、線分のベクトル方程式において同点Pが線分AB上に存在するための条件を示しています。

α≧0の条件は、線分上に存在する点Pの位置を表しています。具体的には、PがAよりもAからBへの延長線上にある場合を含みます。α≧0であることは、Pが線分AB上の点であるか、あるいは線分ABを超えて延長した領域に存在することを意味します。

同様に、β≧0の条件も線分上に存在する点Pの位置を示しています。具体的には、PがBよりもBからAへの延長線上にある場合を含みます。β≧0であることは、Pが線分AB上の点であるか、あるいは線分ABを超えて延長した領域に存在することを意味します。

したがって、α≧0とβ≧0の条件を合わせることで、Pが線分AB上に存在することが確定されます。つまり、線分AB上に存在する点Pを表現するためには、α+β=1とα≧0、β≧0の両方の条件が必要となります。

この条件を満たすことで、線分AB上で内分点を表現することができます。具体的には、αが0から1の範囲で変化することで、Pは線分AB上を移動します。例えば、α=0.5の場合は線分ABの中点になります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
1≧α≧0にならないのはαとβ両方の条件があるからであることはわかりました。

ここで質問なのですが

①αとβの向き？が直線上の2つのうち片方に絞れてしまう理由は何でしょうか？
(ex.α＜0の向き)

②なぜ、α≧0、β≧0がAB上にあることを表すのでしょうか？

よろしくお願いします

お礼日時：2023/07/01 22:20