方冪の定理の演習問題

AB=6,BC=8,CA=10の直角三角形ABCの外接円の中点をOとする。
そして、円中のBC上に点Pをとり、線分APの延長と円Oの交点をQとし、Qにおける円Oの接線と辺ABの延長との交点をRとする。

(1)BR=4のときQRはいくらか。
(2)BP=6のときBQとAQはいくらか。

という問題で
(1)は方冪の定理を使い
QR~2=AB*BR
=24
QR>0
QR=4√6
ですよね！？

では(２)はどうすれば…
△ACPと△BPQに何か関連づけるのでしょうか？
さっぱりわかりません。ご教授ください！！

No.1 ベストアンサー 回答者： nettiw 回答日時： 2007/12/17 04:27

(1)

>>BR=4
>>AＲ=AB+BR=6+4=10

　　QR~2=AＲ*BR=10*4=40
　　QR=2√10　です。

(2)
>> BP=6

　三平方で、AP=6√2
　また、CP=8-6=2

>> △ACPと△BPQに何か関連づけるのでしょうか？

　円周角の定理により、△BPQ∽△APC
　対応する辺の比は等しいので、
　BQ:AC=BP:AP=QP:CP

　BQ:10=6:6√2=1:√2
　 よって、BQ=10/√2=5√2。


（再掲）　BQ:AC=BP:AP=QP:CP=1:√2

　AQ=AP+QP=6√2+QP

　QP:CP=1:√2
　QP:2=1:√2
　QP=√2
　　よって、AQ=6√2+√2=7√2。