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AB=6,BC=5.CA=4であるとき△ABCにおいて∠Aの二等分線と辺BCの交点をPとしたとき線分BPと線分APの長さを求めなさい。  答えBP=3、AP=3√2


この問題の途中式を教えてください。ちなみにcos∠B=3/4、△ABCの面積S=15√7/4、△ABCの内接円の半径r=√7/2です

A 回答 (2件)

>AB=6,BC=5.CA=4であるとき△ABCにおいて∠Aの二等分線と辺BCの交点をPとしたとき


>線分BPと線分APの長さを求めなさい。 
APは∠Aの二等分線だから、その性質から、BP:PC=AB:AC=6:4=3:2
よって、BP=(3/5)BC=(3/5)×5=3

余弦定理より、cos∠B=3/4だから、
△ABPで、余弦定理より、
AP^2=AB^2+BP^2-2×AB×BP×cos∠B
=6^2+3^2-2×6×3×(3/4)
=18
よって、AP=3√2
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(1)BP:PC=AB:AC=6:4=3:2より



BP={3/(3+2)}BC

ここで

BC^2=CA^2+AB^2-2CA・ABcosA,cosA=(CA^2+AB^2-BC^2)/(2CA・AB)=(16+36-25)/(2・4・6)=27/48=9/16
∴BC^2=16+36-2・4・6・9/16=52-27=25,BC=5

よって

BC=(3/5)5=3(答)

AP=x>0,∠APB=θ(∠APC=180°-θ)とおく.△APBと△APCにおける余弦定理より,(図を書いてください)

cosθ=(x^2+3^2-6^2)/(2・x・3),cos(180°-θ)=(x^2+2^2-4^2)/(2・x・2)

∴cosθ=(x^2-27)/(6x),-cosθ=(x^2-12)/(4x)
(x^2-27)/(6x)+(x^2-12)/(4x)=0
2(x^2-27)+3(x^2-12)=5x^2-90=0,x^2=18,x=3√2(答)
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