四角形と三角形の面積比がわかりません。

辺ABの延長上に点Gをとり、線分GCとADの延長との交点をHとする。GH:HC=3:2のとき、四角形DCEFの面積と△BDGの面積の比を求めなさい。という問題が分かりません。
答えは19:35です。
解説をお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/01/13 11:34

要するに (3) ということですね？

これも、(1)(2) で「D を通り、BE に平行な補助線」を引いたように、うまい補助線を見つけるのがポイントでしょう。
「H を通り、BC に平行な補助線を引き、そのBG との交点を P とする」と
　HP = (3/5)BC
かつ
　HP : BD = AH : AD
になりそうです。
これで AH : AD が決まれば、面積比が求まりそうです。

やってみれば
　HP : BD = (3/5)BC : (1/3)BC = 9 : 5
ですから
　AD : DH ＝ 5 : 4
です。
従って、
　△CDH = (4/5)△ACD = (4/5)(2/3)△ABC = (8/15)△ABC
よって
　△CDG = (5/2)△CDH = (4/3)△ABC
　△BDG ＝ (1/2)△CDG = (2/3)△ABC　　　　①

一方、△ACD = (2/3)△ABC で、(2) で求めたように
　△AEF = (32/105)△ABC
ですから
　四角DCEF = △ACD - △AEF = (2/3 - 32/105)△ABC = (38/105)△ABC　　　②

従って、①②より
　四角DCEF : △BDG ＝ (38/105) : (2/3) = 38 : 70 = 19 : 35

この回答へのお礼

丁寧な解説ありがとうございました。
本当に助かりました。

お礼日時：2023/01/14 01:55