
今高校一年で問題集をやっているんですが、ある二つの問題に回答単体しか載っておらず困っています。説明というかこうなる経緯をお教え下さい。
1 定数 abcpqを整数として次のxyの三つの多項式を考える
^2で二乗です
多項式P=(x+a)^2-9c^2(y+b)^2
多項式Q=(x+11)^2+13(x+11)y+36y^2
多項式R=x^2+(p+2q)xy+2pqy^2+4x+(11p-14q)y-77
(1)因数分解せよ これはなんとか解けました
(2)PとQ、QとR、RとPはそれぞれx、yの一次式を共通因数としてもっているものとする。このときの整数abcpqを求めよ。
一応答えがそれぞれa=2、b=1、c=±3、p=-9、q=2
になるそうです。
二つ目の問題です。a>bでa^2+3b=b^2+3a=24のときab、b分のa^2-
a分のb^2の値を求めよというものです。この答えは前者が-15、後者は
-5分の8√69になるそうです。
お願いします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
とりあえず1問目
P=(x-3cy+a-3bc)(x+3cy+a+3bc)
Q=(x+9y+11)(x+4y+11)
R=(x+py-7)(x+2qy+11)
x,yの1次式を共通因数としてもつので
QとRを比べるとRでは(x+2qy+11)が
Qの(x+9y+11)か(x+4y+11)どっちかと一緒だというのが分かる。
Rで1つにしぼったのは+11だから
で求める値は整数なので2q=4でq=2
2q=9だと整数にならない。
同じようにPとQをくらべて
yの係数について 9=±3c からc=±3
また、11=a+9b→(1)
(c=+3のとき11=a+3bc, c=-3のとき11=a-3bcになっているため)
ここでRの残りの方(x+py-7)がPのどっちかと共通なので
-7=a-9b→(2)
(1)(2)よりa=2 ,b=1
あとはP,Rのyの係数について
p=-+3c → p=-9

No.2
- 回答日時:
(2)ですが、
たとえばQとRの因数をそれぞれ比較すると
定数項が11という共通点が見出せます。
そこで2q=4または2q=9となりますが、
qは整数なので、2q=4ゆえにq=2となります。
No.1
- 回答日時:
たまたま見かけたのでやってみました。
数学を教えている者です。(2)は(1)の利用ですね。
Qを因数分解したものにx,yが入っているので
xの係数、yの係数、定数項を恒等式としてP,Rを因数分解したものと比較します。
(3)は最初の式をA=B=Cとすると
A-B=0なので、この式を因数分解すると(a+b)の値が出ます。
A+B=48をから左辺を変形させてabの値が出ますので、
さらに左辺を変形させると(a-b)も出ます。
求める式を(a^3-b^3)/abとして分子を因数分解して値を代入です。
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