ゼロサムゲームのパラドックス

Question

以下の理論のどの部分が間違っているかを教えてください。

(1)…為替市場はゼロサムゲーム
(2)…インサイダー取引は期待値プラス
(3)…ゼロサムゲームでは期待値マイナスの行動をとる人がいない限り期待値プラスの行動を取れる人はいない
(4)…為替市場では容易には期待値プラスの行動は取れない
(5)…期待値マイナスの行動を取れる人は期待値プラスの行動も取れる(その逆の行動を取ることが容易なため)
(6)…(4)と(5)から容易には期待値マイナスの行動は取れない
(7)…期待値マイナスの行動を取れる人がいなくなるので期待値プラスの行動を取れる人はいない
(8)…(2)と(7)が矛盾する

あくまで手数料は考慮せずに考えてください。
あと、できれば期待値の意味が分かる人にお願いしたいです。

fonera · Accepted Answer

少し考えてみましたが、Ryo0617さんと私では、
どうやら単語の意味や使用方法に齟齬があるようです。

簡単なモデルを提示しますので、理解できない・同意できない点を挙げて戴けますでしょうか？


まず前提です。
・為替相場で、注文には「売り」と「買い」の２つしかありません。
・為替相場で「売り」と「買い」のどちらが正解（儲けられる）かは完全にランダムです。
・１回づつ精算する取引で、どちらかの注文は「100円儲け」て、もう一方は「100円損」します。（以後、+100, -100と表記）
・プレイヤーは100人おり、全てのプレイヤーが１回づつ必ず取引を行います。


ここまでで、全員の期待値を出します。（プレイヤー100人が同条件）
50%の確率で勝ち、50%の確率で負けるので
(+100 x 50/100) + (-100 x 50/100) = (50) + (-50) = 0
期待値は、0円になります。


ここで、１人だけインサイダー取引者が居るとします。（99人は同条件）
インサイダー取引者は、60%の確率で勝つことができます。つまり、
60%の確率で勝ち、40%の確率で負けるので
(+100 x 60/100) + (-100 x 40/100) = (60) + (-40) = 20
期待値は、20円になります。


インサイダー取引者と、取引をする相手は、60%の確率で負けます。つまり、
(+100 x 40/100) + (-100 x 60/100) = (40) + (-60) = -20
期待値は、-20円になります。

ただし、インサイダー取引者と、取引をする相手は、99人のプレイヤーの誰か一人です。
ここで、全員が同条件だとすると、インサイダー取引者と取引する確率は、1/99です。
つまり、1.0101…%です。
99人のプレイヤーの期待値は、
(+100 x 50/100)x98/99 + (-100 x 50/100)x98/99 + (+100 x 40/100)x1/99 + (-100 x 60/100)x1/99
 = (49.4949…) + (-49.4949…) + (0.4040…) + (-0.6060…)
 = -0.2020…
期待値は、-0.2020…円になります。


よって、
インサイダー取引者が1人と、普通のプレイヤーが99人いる、
100名の為替市場で100回取引を行ったとすると、
インサイダー取引者の期待値は、
20円 x 100回 = 2000円

普通のプレイヤーの期待値は、
-0.2020…円 x 100回 = -20.2020…円

となります。

以上の点で、理解できない・同意できない点はどこになりますでしょうか？

fonera · Answer

>(1)…私が為替市場に参加することの期待値は非インサイダーであるためマイナス(主観的にも客観的にも)
>(2)…私がインサイダーから見て期待値マイナスの行動をとったときの期待値は、主観的にはプラマイゼロだが、客観的にはマイナス
>(3)…私がインサイダーから見て期待値プラスの行動をとったときの期待値は、主観的にはプラマイゼロだが、客観的にはプラス
>(4)…私が(2)でなくて(3)の行動を取れる確率は50％(主観的にも客観的にも)
>(5)…－(2)の期待値＝(3)の期待値(客観的にも主観的にも)
>(6)…(4)と(5)から、私が為替市場でなにか行動をとることの期待値は客観的にプラマイゼロとなります。
>(7)…(1)と(6)が矛盾します。

その仮定では、（4）が違います。
ゼロサムゲームは『全員の利得の総和がゼロ』が特徴です。
インサイダー取引者がプラスの行動（儲かる行動）を取る場合、ゼロサムゲームでは反対の行動しかとれません。


市場には2人しかいないと仮定してください。
プロAとRyo0617さんとの2人です。

この場面で、ある株を『売る』のが、儲かる行動だとします。プロAは売ります。
Ryo0617さんは『買い』しかできません。『売る』が2人では取引が成立しないからです。

>(4)…私が(2)でなくて(3)の行動を取れる確率は50％(主観的にも客観的にも)
2人の市場で、必ず売買が成立すると仮定すると、(3)の行動をとれる確率は0%です。

プレイヤーが多いと見失いがちですが、
・市場が、ゼロサム
・『売る』『買う』の二者択一
・どちらかの行動が、プラスの期待値を持つ
という３つの前提をおきます。『売る人の数』＝『買う人の数』です。


インサイダー取引者がいる市場において、Ryo0617さんが全くのランダムに二者択一を選ぶ場合、儲かる確率はマイナスです。

以下の4つの選択肢しか無いからです。
・『売り』がプラス。プロA＝売る、Ryo0617さん＝売る。結果：プロA=0, Ryo0617さん=0
・『売り』がプラス。プロA＝売る、Ryo0617さん＝買う。結果：プロA=+, Ryo0617さん=-
・『買う』がプラス。プロA＝買う、Ryo0617さん＝売る。結果：プロA=+, Ryo0617さん=-
・『買う』がプラス。プロA＝買う、Ryo0617さん＝買う。結果：プロA=0, Ryo0617さん=0


これは1万人の市場に、インサイダー取引者が１人入り込んでいても状況は同じです。
9998人はランダムに売り買いを成立させ、インサイダー取引者と取引をする1人が確実に損をします。

ecotomed · Answer

期待値と確立の概念がゴタゴタになっているようです。
すべての取引においてゼロサムが仮定されているとします。
インサイダーが期待値プラスの(というよりは利益が確定的である)行動を
取るということは、市場にある資金の中から何がしかの利益を得るわけです。
非インサイダーはインサイダーが利益を持ち去った残りのパイを奪い合うわけです。
得をする行動・損をする行動どちらを取るかは質問者さんがおっしゃるように50％の確率でしょう。しかし期待値としては「得をするときに得られる利益」より「損をするときに失う損失」が大きいことからマイナスになるのです。

＞期待値マイナスの関数を持っている人は期待値プラスの関数も作れると思うのです。
これはインサイダーの件とは別の問題ですが、期待値マイナスの関数を作れる人が存在するのでしょうか？
為替や株式では一般的におおまかに動向を推し量る理論があるにはあります。
しかしこの理論を知っているからといって必ず得できるわけではないし、
知らなかったからといって期待値マイナスが確定するわけではありません。
なぜならこうした理論は既に多くの人の知るところとなってしまっている
からです。
株式市場は時価総額の変動がありますし、為替市場にしても予測変動幅を
大きく外れる変化もあるのでゼロサムを約束しませんが、仮にゼロサムを
前提とするならば、大勢と逆の行動を取ることが利益を生むのです。
理論どおりに動くと踏んだプレイヤーは逆の行動をとろうとします。
理論を知らない人は知らないなりに独自の行動をします。
それはプログラムだとしても同じこと。
現に株取引の理論の効果を調べる目的で、ダーツの矢が当たった銘柄の
取引をするという完全なランダムの場合と理論に従った場合とを比較した
実験がありました。
結果はダーツの勝ち。期待値マイナスのプログラムなんて作ろうにも不可能だと思いますが。プラスのプログラムも然りです。

fonera · Answer

Ryo0617さんは、期待値と確率を混同されていますし（←これは些細な問題）
また「誰にとっての視点で見るか」という点が欠落しています。（←ここが重要）

>為替市場では容易には期待値プラスの行動はとれない
>かつ、容易には期待値マイナスの行動はとれない
>→為替市場には期待値マイナスの行動を取る人もプラスの行動を取る人もいない
なぜ、こうお考えなのですか？


整理しましょう。


二者択一の選択肢で、期待値に偏りがある場合
「どちらの選択肢が期待値マイナスか知っている人は、期待値プラスを知ることができる」のは正しいです。

期待値プラスの行動を取れる人が居る。
期待値マイナスの行動を取れる人が居る。これは仮説から自明ですね。（＝プレイヤー全て）

期待値プラスの選択肢を知っている人が居る。これは仮説の前提ですね。（＝インサイダー情報を持っている人）
期待値マイナスの選択肢を知っている人は、居ません。
（但し、期待値プラスの選択肢を知っている人は、期待値マイナスの選択肢を知ってるのと同義です）


前回あげた
>株式会社A、プロB、素人C、素人D、素人E。
という例における、
期待値プラス、期待値マイナスの両行動をとれる人は、会社A、プロB、素人C、素人D、素人Eです。
期待値プラスの選択肢を知っている人は、プロBです。
期待値マイナスの選択肢を『知っている人』は、プロBのみです。


『行動がとれる』のと『期待値を知っている』ことは同義ではありません。


つまり
>期待値マイナスの関数を持っている人は期待値プラスの関数も作れると思うので
す。
正しいです。

>例えば、２者択一の問題を６０％の確率で間違えられる占い師の人形は期待値的
には正解率４０％ですが、５０％の確率であてられる人形より価値があり、６０
％の確率であてられる人形と同じくらいの価値で、同じくらい容易には作れない
と思います。
その通りです。前回ヒントに書きましたね。

>私はあほですが、為替市場において、６０％の確率で間違っている選択肢はおそ
らく選べないと思います。
選択肢を選ぶことはできます。
ただし、それが60%の確率で間違っている選択肢か『知ることはできません』


>私がどれほどあほでも売りか買いかの２択に対してマイナス期待値の行動はとれないということになります。
Ryo0617さんの質問に丁寧にお答えしているのは、この質問が深遠なものを含んでいるからです。
プロが啓蒙を込めた嫌がらせをしているのかと思いました:-P

ecotomedさんが回答されているように、
>(2)…インサイダー取引は期待値プラス
という前提を置いた場合、それ以外の人間は必ず損をします。


そして、期待値マイナスの行動を取りたい人間は、普通居ませんね。期待値プラスの行動を取りたいはずです。
ですが…


誰もおおっぴらには認めませんが、今日の株式市場は
>(1)…為替市場はゼロサムゲーム
>(2)…インサイダー取引は期待値プラス
この状態に非常に近いです。

『期待値を知ることができない』人間がとる『期待値マイナスの行動』が、
『期待値を知ることができる』『期待値プラスの行動』を取る人間にお金を渡しているのですね。ゼロサムですから。

fonera · Answer

どの辺の理屈が繋がっていると思うのかが、いまいち良くわからないので、答え方があっているかわかりませんが…

まず結論から。
>(4)…為替市場では容易には期待値プラスの行動は取れない
>(5)…期待値マイナスの行動を取れる人は期待値プラスの行動も取れる(その逆の行動を取ることが容易なため)
書き直してみますね。
（４）普通、プラスの行動はとれない
（５）普通、マイナスの行動を取る人は、普通プラスの行動もとれる。

***

>まあ、すべて仮定と考えてもらって構わないのですが、(1)と(3)くらいは自明としていただきたいです。
じゃあ、(1)(3)は前提として考えましょう。
（その期待値の計算についてはちょっと言いたいことがあるのですがとりあえずおいておくとして）

とりえあず進めましょう。

>ここで為替は容易に予測できないためS<BかB>Sかは容易にはわからないと思います。(これが容易にわかればみんな大金持ちになっていると思うので)
>(4)…為替市場では容易には期待値プラスの行動は取れない
これもまあ、Ryo0617さんの前提としましょうか。

為替市場はゼロサムゲーム、つまり
「儲けた金額」＝「損した金額」
は、自明でしたね？

プレイヤーを用意しましょう。
株式会社A、プロB、素人C、素人D、素人E。登場人物は5人です。
他に人間は居ませんし、お金はこの5人で完結します。ゼロサムですから。

会社Aは、株を2株発行しました。額面は100円です。配当はまだありません。
素人C, 素人Dが、100円で株を購入しました。
１）ここで会社Aは儲かり、素人C, 素人Dは損をしました。ゼロサムですから。
(会社=200, 素人C=-100, 素人D=-100)

さて、「こんど配当がどーんとでて、ばーんと値段が上がるらしい」とインサイダー情報をプロBがゲットしました。

プロBは素人C, 素人Dからそれぞれ200円で株を購入しました。全部で400円です。
２）ここで素人C, 素人Dは儲かり、プロBは損をしました。ゼロサムですから。
(会社=200, 素人C=100, 素人D=100, プロ=-400円)

さて、株式会社が「100円あたり50円の配当を出します」と発表しました。
プロBはここで仕掛けます。素人Eに800円でふっかけるのです。
素人Eは、800円で株を買います。後で素人Cと素人Dに売るつもりです。
３）ここでプロBは儲かり、素人Eは損をしました。ゼロサムですから。
(会社=200, 素人C=100, 素人D=100, プロ=400円, 素人E=-800)

さて、

>為替において売る方か買う方かどちらの期待値が高いかわからない場合、素人に適当に選ばせたことの逆の取引をすると期待値プラスにできるということになります。これが(5)です。
先ほどの例で言うと、２）の状況ですね。
後で400円で売れる物を、200円で売ってしまう。定義からこれは期待値がマイナスの行動となります。
さて、素人にこの逆の行動がとれるでしょうか？

>(4)…為替市場では容易には期待値プラスの行動は取れない
あれ？さっき、容易に期待値プラスの行動はとれないと前提を起きましたね？
つまり、為替市場では容易には期待値プラスの行動はとれない＝普通は期待値マイナスの行動しかとれないのです。前提ですから。

>ここで為替は容易に予測できないためS<BかB>Sかは容易にはわからないと思います。(これが容易にわかればみんな大金持ちになっていると思うので)
>ようは為替において売る方か買う方かどちらの期待値が高いかわからない場合、素人に適当に選ばせたことの逆の取引をすると期待値プラスにできるということになります。これが(5)です。
↑並べて引用してみました。
さあ、判りますか？

『素人に適当に選ばせたことの逆の取引をすると期待値プラスにできるということになります。』
これは仮定にはありませんでしたが、答えが書いてありますね。
素人が適当に選んだ取引の逆の取引は、期待値プラスですか？

(ヒント：必ず期待値マイナスの行動をとる素人が居た場合「その逆の取引をすれば良い」という行動そのものが期待値プラスの行動になります。定義からその取引は、容易にはできません）

ecotomed · Answer

(１)(２)を前提とします。
インサイダー取引はゼロサムで動いているところに強制的に期待値プラスになるプレイヤーが混じりこんだ状態です。すると非インサイダーはすべて期待値マイナスになります。(全員が損するという意味ではありません)　つまりインサイダーの侵入を許すということがすなわち期待値マイナスのプレイヤーを生むのです。よって(３)がちょっと変です。
(４)はいまいち意味が分かりませんが、(５)は明らかに誤りです。
理由は上で説明したように、マイナスであることを認識していなくてもマイナスになってしまっているからです。
マイナスの行動をとりたい人はいませんが、結果的にマイナスの行動を取らされてしまうという意味でインサイダー取引は禁止されるに足る悪なのです。

fonera · Answer

どこまでが前提で確定しているのかがいまいち判然としませんが・・・
（５）から先が間違っています。微妙に(4)も変です。

サイコロで考えてみましょう。期待値が3.5のサイコロです。
「サイコロを10回投げて、総和が30を超えるか超えないか」という賭があるとします。
期待値を知っている人は「超える」に賭けます。
これが他者が知らない情報を知っている＝インサイダー取引です。
また、これは期待値プラスの行動です。

期待値を知らない人は「超えない」に賭けます。
これが期待値マイナスの行動です。

>(4)…為替市場では容易には期待値プラスの行動は取れない
サイコロの期待値を容易に知ることができない環境にいたとしましょう。たとえばプレイヤーが小学校低学年の場合です。
貴方だけ期待値を知っています。これこそがインサイダー取引です。

>(5)…期待値マイナスの行動を取れる人は期待値プラスの行動も取れる(その逆の行動を取ることが容易なため)
インサイダー取引ができない人（期待値マイナスの行動をとれる人）は、インサイダー取引（期待値プラスの行動）はできません。
ここに誤謬があります。

「期待値プラスの行動がとれる人＝インサイダー取引ができる人」という定義ですので、インサイダー取引ができない人は期待値プラスの行動をとれません。（とった瞬間にインサイダー取引ができる人になる）
よって(6)～(8)まで全ておかしくなります。

厳密に言えば、(1)～(7)は矛盾しません（つまり8が誤り）
インサイダー == 期待値プラス, (2)(4)
not インサイダー == 期待値マイナス, (1)(3)
期待値マイナス == 期待値プラス, (5)←ここが正しいと仮定すれば
期待値マイナス == インサイダー,(4)(5)
インサイダー == インサイダー, (7)
インサイダー取引は期待値プラスですが、期待値マイナスの人もインサイダー取引が容易であるとするとそれは期待値プラスの行動となります。

「サイコロを10回投げて、総和が30を超えるか超えないか」という賭を大人がやる場合です。どうなりますか？

期待値プラスと期待値マイナスの行動が存在し、
期待値プラスの動きしか人が取らないとすると、
ゼロサムゲームでは賭が成立しません。

>(1)…為替市場はゼロサムゲーム
だという前提があるとすると、なかなか興味深いですね。
証券取引法がなぜ存在するのか、なんとなくわかりましたか？

ゼロサムゲームのパラドックス

少し考えてみましたが、Ryo0617さんと私では、

>(1)…私が為替市場に参加することの期待値は非インサイダーであるためマイナス(主観的にも客観的にも)

期待値と確立の概念がゴタゴタになっているようです。

Ryo0617さんは、期待値と確率を混同されていますし（←これは些細な問題）

この回答への補足

どの辺の理屈が繋がっていると思うのかが、いまいち良くわからないので、答え方があっているかわかりませんが…

(１)(２)を前提とします。

どこまでが前提で確定しているのかがいまいち判然としませんが・・・

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