No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(L-)(L+)=L^2-Lz^2-h_*Lz だから
h_=1として、L^2=(L-)(L+)+Lz^2+Lzの誤りですね?
あるいは、L^2=(L+)(L-)-Lz^2-Lzの誤りかな?
L^2=(L-)(L+)+Lz^2+Lzとして、進めます。
波動関数ψをL^2に作用させます。
すると
(L-)(L+)ψ={(e^-iφ)(-d/dθ+i*cotθd/dφ)}{(e^iφ)(d/dθ+i*cotθd/dφ)}ψ
={(e^-iφ)(-d/dθ+i*cotθd/dφ)}{(e^iφ)(dψ/dθ+i*cotθdψ/dφ)}
={(e^-iφ)(-d/dθ)} {(e^iφ)(dψ/dθ+i*cotθdψ/dφ)}
+{(e^-iφ) *i*cotθ(d/dφ)}{(e^iφ)(dψ/dθ+i*cotθdψ/dφ)}
={(e^-iφ)(-d/dθ)} {(e^iφ)(dψ/dθ)}
+{(e^-iφ)(-d/dθ)} {(e^iφ)*i*cotθdψ/dφ)}
+{(e^-iφ) *i*cotθ(d/dφ)}{(e^iφ)(dψ/dθ)}
+{(e^-iφ) *i*cotθ(d/dφ)} {(e^iφ)*i*cotθdψ/dφ)}
={(-d^2ψ/dθ^2)}
+{i*(sinθ^(-2))(dψ/dφ)-i*cotθ*(d^2ψ/dθdφ)}
+{-cotθ(dψ/dθ)+i*cotθ(d^2ψ/dφdθ)}
+{-i*(cotθ)^2(dψ/dφ)-(cotθ)^2(d^2ψ/dφ^2)}
={(-d^2ψ/dθ^2)}
+{-cotθ(dψ/dθ)}
+{-(cotθ)^2(d^2ψ/dφ^2)}
+{i*(sinθ^(-2))(dψ/dφ)-i*(cotθ)^2(dψ/dφ)}
i*(sinθ^(-2))(dψ/dφ)-i*(cotθ)^2(dψ/dφ)
=i*[{1-(cosθ)^2}/(sinθ)^2](dψ/dφ)=i*(dψ/dφ)
Lz^2ψ={(1/i)(d/dφ)}{(1/i)(dψ/dφ)}=-d^2ψ/dφ^2
Lzψ=(1/i)(dψ/dφ)=-i*(dψ/dφ)
∴L^2ψ=(L-)(L+)ψ+Lz^2ψ+Lzψ
={(-d^2ψ/dθ^2)}+{-cotθ(dψ/dθ)}+{-cot^2θ(d^2ψ/dφ^2)}+i*(dψ/dφ)
-(d^2ψ/dφ^2)
-i*(dψ/dφ)
={(-d^2ψ/dθ^2)}+{-cotθ(dψ/dθ)}+{(-cot^2θ-1)(d^2ψ/dφ^2)}+i*(dψ/dφ)-i*(dψ/dφ)
=-{(1/sinθ)dψ/dθ(sinθdψ/dθ)+(sinθ)^(-2)(d^2ψ/dφ^2)}
=-{(1/sinθ)d/dθ(sinθd/dθ)+(sinθ)^(-2)(d^2/dφ^2)}ψ
従って、L^2=-{(1/sinθ)d/dθ(sinθd/dθ)+(1/(sinθ)^2)*(d/dφ)^2}
No.1
- 回答日時:
最初の式が間違ってます。
×:L^2=(L+)(L-)-Lz^2+Lz
○:L^2=(L+)(L-)+Lz^2-Lz
途中経過:
(L+)(L-) = -{(d/dθ)^2+cotθ*d/dθ+i*d/dφ+(cotθ)^2*(d/dφ)^2}
Lz^2 = -(d/dφ)^2
Lz = -i*(d/dφ)
つかう公式:
dcotθ/dθ = -(cosecθ)^2
(cosecθ)^2 - (cotθ)^2 = 1
これでどうでしょうか。
この回答へのお礼
お礼日時:2007/10/24 23:58
ご回答ありがとうございます。
すいません。間違った式をアップしていました。
二つ目の公式は知りませんでした。
勉強になりました。
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