ゼロ乗の考え方について

Question

「１のゼロ乗は１」というのは理屈ぬきになんとなく覚えていました。

しかし、１０のゼロ乗、１００のゼロ乗、１０００のゼロ乗と
無限大に数字が増えてもとにかく「ゼロ乗は１」なのでしょうか。

そしてそれを証明する公式があるのでしょうか。

どなたかご指導いただければ幸甚です。

gootaroh · Accepted Answer

ええ、「1」です。例外は「ゼロのゼロ乗」だけです。

要するに「ゼロ乗」とは、分母分子が等しい状態なのです。

ですので、10/10でも100/100でも1000/1000でも、100兆/100兆でも、答えは「1」ですよね。
ただ、0/0については「不定」といって答えが一つに定まりません。

なぜ分母分子が同じといえるのかというと、次のように考えてください。まず、

2^1=2
2^2=4
2^3=8
2^4=16
2^5=32

ですよね。ここで「2^5」/「2^3」を計算してみましょう。

これは、「32/8」と同じですから、答えは「4」です。「4」ということは「2^2」と同じですよね。
つまり、「2^5」を「2^3」で割るというのは、「2^(5-3)」と同じなわけです。

では、次に「2^5」/「2^5」はどうですか？
分母分子が等しいので、答えは当然「1」ですよね。で、先ほどの例でいくと、「2^(5-5)」ですので、「2^0」ということです。

なので、ゼロ乗とは分母分子が等しい状態、つまり「0^0」（=0/0）でない限り、答えは「1」なのです。

usatan2 · Answer

「aのゼロ乗」は 「a/a」 と読み替えてください。
では以下、質問者さんの言葉を翻訳してみます。
---翻訳開始-----------
「1/1 は１」というのは理屈ぬきになんとなく覚えていました。
しかし、１０／１０、１００／１００、１０００／１０００と
無限大に数字が増えてもとにかく「ｘ／ｘは１」なのでしょうか。
そしてそれを証明する公式があるのでしょうか。
---翻訳終了----------
→　Ｘが０以外有限の値ならｘ／ｘは１ですよね。

Ishiwara · Answer

（ＡのＭ乗）÷（ＡのＮ乗）＝Ａの（Ｍ－Ｎ）乗
で、Ａ≠０、Ｍ＝Ｎのとき、Ａの０乗＝１になります。

BASKETMM · Answer

新しい概念、新しい数が出てきたとき、（今までに考えていなかった新しい数を考え出したとき）どの様に定義してもよい訳です。しかし今までにみんなが使っていた数に通用する計算規則が、新しい数にも使えれば、とても便利ですし、利便性もよいでしょう。
例１．自然数に０を追加する。
例２．正の数の他に負の数を考える。
例３．負の数の平方根を考える。
例４．循環しない無限小数を数の一員と承認する。（無理数）
例５．自然数の冪に分数を許す。
例６．冪に無理数を許す。
例７．冪に０を許す。

拡張したときに、今までの計算規則が成り立たない例もあります。複素数の拡張である４元数などです。

私が書いたことは今までに出ているお答えとほぼ同じです。多くの方が、０乗以外の冪に関する計算規則と矛盾しないことを述べておられますね。

teloon · Answer

こう考えたらどうでしょうか、Ａの(ｎ＋１）乗＝Ａのｎ乗×Ａとなるので、
ｎに０を代入するとＡの(０＋１）乗＝Ａなので
　　　　Ａの０乗×Ａ＝Ａ
　　　　　　Ａの０乗＝Ａ／Ａ
　　　　　　　　　　＝１
　　　　　　　　　　　　　　になると思います。

sanori · Answer

＞＞
無限大に数字が増えてもとにかく「ゼロ乗は１」なのでしょうか。

「無限大」ではダメですが、有限であれば、どんなに大きい数でも０乗は１です。


＞＞
そしてそれを証明する公式があるのでしょうか。

証明云々の話ではなく、（利便性の面から）元々の指数関数を拡張して、そのように定義しただけのことです。
こちらの３ページ目、２．１項が、その一例です。
http://www.green.dti.ne.jp/amano/lec2007f/funct/20070625.pdf


私が言う「利便性」というのは、

２の４乗　＝　１６
２の３乗　＝　８
２の２乗　＝　４
２の１乗　＝　２

のつづきを、右辺が２分の１ずつになっていることに着目して

２の０乗　＝　１
２の－１乗　＝　０．５
２の－２乗　＝　０．２５
・・・・・

とすることによって、色々と応用がきくということです。

suzukikun · Answer

「なぜ」ではなくてa^0=1(a≠0)と「定義」しているのです。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=2083093

edomin2004 · Answer

指数法則（a^mはaのm乗を表しています。）
a^m×a^n=a^(m+n)
を拡張して
a^m×a^0＝a^(m+0)＝a^m
なので、
a^0＝１

ゼロ乗の考え方について

ええ、「1」です。

「aのゼロ乗」は 「a/a」 と読み替えてください。

（ＡのＭ乗）÷（ＡのＮ乗）＝Ａの（Ｍ－Ｎ）乗

新しい概念、新しい数が出てきたとき、（今までに考えていなかった新しい数を考え出したとき）どの様に定義してもよい訳です。

こう考えたらどうでしょうか、Ａの(ｎ＋１）乗＝Ａのｎ乗×Ａとなるので、

＞＞

「なぜ」ではなくてa^0=1(a≠0)と「定義」しているのです。

指数法則（a^mはaのm乗を表しています。

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