「区分的に連続」と「区分的に滑らか」の概念について

フーリエ級数について勉強しているのですが、
「区分的に連続」と「区分的に滑らか」の理解が非常に曖昧です。

(1)
「区分的に連続」な関数の私のイメージは
周期の変わり目で不連続であってもいいけど、その不連続点の前後で発散していない関数、
なのですが、どこか不十分でしょうか？

(2)
「区分的に滑らか」な関数とは、
「その関数が区分的に連続、かつ１階導関数が区分的に連続」な関数とテキストでは説明されているため、
「区分的に滑らか」ならば「区分的に連続」である、と理解しているのですが、
これは正しいでしょうか？

よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： arrysthmia 回答日時： 2008/04/07 00:38

(1) 「区分的に連続」の定義に、文献ごとのブレはないのか？

が少々不安な気はします。私の知っている定義は、
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/li …
のようなモノです。

「その不連続点の前後で発散していない関数」とは、
リンク先の 条件２ のことを言わんとしているようです。
この流儀では、ただ有限個の除外点以外で連続なだけではない
のです。フーリエ級数を扱うときには、この意味での
「区分的に連続」な関数が登場しますね。


(2) 「区分的に滑らか」の方は、その説明ではマズイ
ような気もします。「滑らか」も、文脈ごとにブレのある用語ですが、
概ね「任意階微分可能であること」を指すようです。
複素関数なら、１階微分可能と任意階微分可能は同じことですが、
「区分的に滑らか」と言うときには、実関数を考えていることが
多いように思います。実関数の意味では、１階微分可能な関数が
任意階微分可能とは限りません。

ただし、フーリエ級数を扱うときには、
「区分的に連続、かつ１階導関数が区分的に連続」な関数が
登場するので、ソレを「区分的に滑らか」と呼んでしまうような
流儀があるのかも知れません。

どうなんでしょうね。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2008/04/20 12:36

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2008/04/06 11:08

それぞれの「具体例」を作れますか？

「区分的に連続」
区間内に有限個の点があってそれらの点だけで連続ではない
つまり
発散は関係ありません．
例：
f(x) = -1 (x<0)
= 0 (x=0)
= 1 (x>1)
いわゆる「符号関数」の類です．
x=0だけで連続ではないので区分的に連続です．

例：y=1/x x=0で定義されていないが
それ以外では連続

「区分的に滑らか」
例：y=|x|
x=0で微分可能ではなく，他では微分可能
要は「折れ線」が代表的なもの

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
理解が深まりました。

お礼日時：2008/04/06 23:13