ネットが遅くてイライラしてない!?

フーリエ級数について勉強しているのですが、
「区分的に連続」と「区分的に滑らか」の理解が非常に曖昧です。

(1)
「区分的に連続」な関数の私のイメージは
周期の変わり目で不連続であってもいいけど、その不連続点の前後で発散していない関数、
なのですが、どこか不十分でしょうか?

(2)
「区分的に滑らか」な関数とは、
「その関数が区分的に連続、かつ1階導関数が区分的に連続」な関数とテキストでは説明されているため、
「区分的に滑らか」ならば「区分的に連続」である、と理解しているのですが、
これは正しいでしょうか?

よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

(1) 「区分的に連続」の定義に、文献ごとのブレはないのか?


が少々不安な気はします。私の知っている定義は、
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/li …
のようなモノです。

「その不連続点の前後で発散していない関数」とは、
リンク先の 条件2 のことを言わんとしているようです。
この流儀では、ただ有限個の除外点以外で連続なだけではない
のです。フーリエ級数を扱うときには、この意味での
「区分的に連続」な関数が登場しますね。


(2) 「区分的に滑らか」の方は、その説明ではマズイ
ような気もします。「滑らか」も、文脈ごとにブレのある用語ですが、
概ね「任意階微分可能であること」を指すようです。
複素関数なら、1階微分可能と任意階微分可能は同じことですが、
「区分的に滑らか」と言うときには、実関数を考えていることが
多いように思います。実関数の意味では、1階微分可能な関数が
任意階微分可能とは限りません。

ただし、フーリエ級数を扱うときには、
「区分的に連続、かつ1階導関数が区分的に連続」な関数が
登場するので、ソレを「区分的に滑らか」と呼んでしまうような
流儀があるのかも知れません。

どうなんでしょうね。
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この回答へのお礼

ありがとうございました!

お礼日時:2008/04/20 12:36

それぞれの「具体例」を作れますか?



「区分的に連続」
区間内に有限個の点があってそれらの点だけで連続ではない
つまり
発散は関係ありません.
例:
f(x) = -1 (x<0)
= 0 (x=0)
= 1 (x>1)
いわゆる「符号関数」の類です.
x=0だけで連続ではないので区分的に連続です.

例:y=1/x x=0で定義されていないが
それ以外では連続

「区分的に滑らか」
例:y=|x|
x=0で微分可能ではなく,他では微分可能
要は「折れ線」が代表的なもの
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
理解が深まりました。

お礼日時:2008/04/06 23:13

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Q区分的に連続な関数について

自分では不連続な点もあるけど、発散はしない関数と思っているのですが、区分的に連続な関数というのは一般的にどのようなものなのですか?よく理解できていなくてすみません。
あと、区分的に連続な関数f(x)が存在するとき導関数f'(x)が区分的連続ではない関数というのはありますか?

Aベストアンサー

>区分的に連続な関数

簡単に言えば「f(x)が、xの不連続点を除いて関数の値が存在して、隣り合う不連続点間のxに対してf(x)が連続である関数」ということかと思います。

フーリエ級数展開できる矩形波(round(x)-int(x))や鋸歯状波(x-int(x))などは区分的に連続な関数に属します。1周期の境界で不連続であってもかまいません。

>区分的に連続な関数f(x)が存在するとき導関数f'(x)が区分的連続ではない関数というのはありますか?

矩形波の平らな連続区間に半円の上半分を2つ並べたもので置き換えた関数
半円の接する所でf'(x)が存在しない(その点でf(x)は連続)。
自信なしです?

QC1級関数って何ですか?

級数の勉強をしていると、
” C1級数関数 ”
(※ 1はCの右上の小さい文字。表記できませんでした。)
という用語が出てきたのですが、どういう意味なのかわかりません。
どういう関数なのか教えてください。

Aベストアンサー

こんにちは.Esnaです.

C1級は,1回微分可能な関数のことです.
Cn級や,C∞級(e^x,sin x など)など微分可能回数によって関数を分類したものです.

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Qフーリエ変換の問題について

f(x)=e^(-ax^2)  (-∞≦x≦∞,a>0)
のフーリエ変換が分かる方いましたら是非教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

搦め手からの別解です

F(ω)=∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx

とします。これをωで微分すると

dF/dω = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*(-ix)e^(-i*ω*x) dx

ここで d/dx(e^(-a*x^2)) = -2ax e^(-a*x^2)なので

dF/dω = (i/2a)∫[-∞≦x≦∞] d/dx(e^(-a*x^2))e^(-i*ω*x) dx

部分積分して

dF/dω = (i/2a){ [e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) ]_{-∞}^∞ - ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) d/dx(e^(-i*ω*x)) dx }

第1項めはe^(-a*x^2)のために±∞で0なので

dF/dω = (i/2a) {-∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) (-iω)e^(-i*ω*x) dx }
= -(ω/2a)∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) dx = -(ω/2a)F(ω)

これは簡単な微分方程式なのですぐに解けて

ln F(ω) = -(1/4a) ω^2 + C

F(ω) = A e^{-ω^2/4a} (A = e^C)

積分定数Aは、

F(0) = A = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) dx = √(π/a)

によって決まり、最終的に

F(ω) = √(π/a) e^{-ω^2/4a}

搦め手からの別解です

F(ω)=∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*e^(-i*ω*x) dx

とします。これをωで微分すると

dF/dω = ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2)*(-ix)e^(-i*ω*x) dx

ここで d/dx(e^(-a*x^2)) = -2ax e^(-a*x^2)なので

dF/dω = (i/2a)∫[-∞≦x≦∞] d/dx(e^(-a*x^2))e^(-i*ω*x) dx

部分積分して

dF/dω = (i/2a){ [e^(-a*x^2)e^(-i*ω*x) ]_{-∞}^∞ - ∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) d/dx(e^(-i*ω*x)) dx }

第1項めはe^(-a*x^2)のために±∞で0なので

dF/dω = (i/2a) {-∫[-∞≦x≦∞] e^(-a*x^2) (-iω)e^(-i*ω*x) dx }
= ...続きを読む

Q複素解析で、極の位数の求め方

無限積分の値を求めるのに留数定理を使用するので、その際留数を求めることになりますが、
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/12cmplx/100cmp.html
によると、留数を求めるのに極の位数が必要だと書いています。

極は分数関数の分母を0にするような変数の値だと習いましたが、位数の求め方がわかりません。位数はどのようにして求めることができるのでしょうか?

Aベストアンサー

>極は分数関数の分母を0にするような変数の値だと習いましたが、
>位数の求め方がわかりません。
極がaのとき、分母をq(z)とおくと、q(z)を因数分解したとき
(z-a)^m
を因数として持つとき(q(z)=0がm重解を持つとき)
mを位数といいます。
位数mを求めるにはz=aが何重解かを求めればそれがmになります。

Q集積点が、まったく分かりません!!

集積点の意味がまったくわかりません。詳しく教えてください。

Aベストアンサー

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のAの要素が存在するような点」
と言い替えられます。

直観的な言い方をすれば、x∈XがAの集積点であるとは
「xのどんな近くにも(x以外の)Aの点がある」
と言う条件をみたすような点のことです。

ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。
すなわちx∈XがAの孤立点であるとは
xがAの要素であり  …(S1)
かつxのある近傍とAの共通部分にx以外のAの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなAの要素はxだけであるような点」
となります。

注意していただきたいのはx∈AであることはxがAの集積点であるためには
必要でも十分でもないということです。
xがAの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Aの点でないような
Aの集積点も存在します。
しかし孤立点と言う概念は集合Aの要素に対して与えられる概念ですから、Aに
属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをAの孤立点とは呼びません。

あとは距離空間(ユークリッド空間)での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい

例(1)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| x^2 + y^2 < 1} ∪ (2.0)
とします。つまりAは原点中心半径1の開円盤と点(2,0)の和集合です。
するとAの集積点(の集合)は
{(x,y)∈X| x^2 + y^2 ≦ 1}
すなわち原点中心半径1の開円盤とその境界となります。
点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。

例(2)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) }
とします。Aの集積点(の集合)はA自身と集合
B={(0,y)∈X| y∈[-1,1] }
の和集合です。

例(3)Xを1次元ユークリッド空間として
A= { 1/n | n=1,2,…}
とします。原点{0}はAの集積点です。しかしA自身の点はすべて孤立点です。

例(4)Xを1次元ユークリッド空間として
Aは開区間(0,1)の有理点。すなわち
A= { x∈(0,1)|xは有理数 }
とします。Aの集積点(の集合)は閉区間[0,1]です。

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるよう...続きを読む

Q質問:フーリエ級数はどんなとき元の関数に収束するの?

私の本(岩波)によると

e[n](t)≡exp(i・2・π・n・t)とし
f(t)=f(t+1)(∀t∈R)とし
F[n]≡∫(t∈[0,1])dt・f(t)・e[-n](t)としたとき

「f(t)がC^1級であれば
Σ(n∈Z)・F[n]・e[n](t)がf(t)に一様収束する」
とあり
「f(t)が区分的にC^1級であれば
Σ(n∈Z)・F[n]・e[n](t)が(f(t-0)+f(t+0))/2に各点収束する」
とありますが

(1)「フーリエ級数の一様収束」のもっと緩い条件を教えてください
(2)「フーリエ級数の各点収束」のもっと緩い条件を教えてください

(1)と(2)のどちらでもいいです

Aベストアンサー

 ご質問の目的が、反転可能条件の証明の理解にあるのか、それとも応用にあるのか、がどうもはっきりしませんでした。コメントを見る限りどうやら応用の方らしい、とあたりをつけたのですが…
 ごく普通の応用では区分的C1級で十分だろうから、緩い条件を追求している易しい本、ってことになるとなかなか見つからないんじゃないでしょうか。関数解析の基礎が一通り要求されますしね。

 ご質問では、xでf(x)が不連続のとき、(f(x+0)+f(x-0))/2に収束するのを「元に戻った」うちに含めていらっしゃるように読めて、するとa.e.の意味で反転可能ならそれで構わないと仰っているようにも受け取れます。そういう意味で良いのならDiniの条件を持ち出すまでもない。
 たとえば「数学ハンドブック」(森北出版)では、
  Dirichletの条件:
  (1) 1周期分の区間を有限個の区間に分け、各区間内でf(x)が連続かつ単調であるようにできる。
  (2) f(x)の不連続点tに於いては、f(t+0)とf(t-0)が存在する。
  を共に満たすとき、フーリエ級数は
  xでf(x)が連続のとき f(x)に、
  xでf(x)が不連続のとき、(f(x+0)+f(x-0))/2に
  収束する。
という判別法だけが取り上げられています。これは先刻ご承知の条件だろうと思うのですが、特にへんてこな関数を相手にしない限り、測度零の集合を無視してa.e.の意味での反転可能性を問うのなら、これでたいがい間に合う。(つまり予め、値が飛んでいるところを、両側の極限値で埋めて連続・単調にしておけば良い。)

 この先を追求するとなると、関数のいろんな分類を細かく調べていく必要があり、どんどん話が難しくなる。一方で、実用性のない数学には興味なし、と仰っているので、バランスを量りかねています。
 まずは「数学辞典」(岩波)を当たって、Fourier級数の項で、Jordanの条件、Dirichletの条件、Diniの条件、Lebesgueの条件、Dini-Lipschitzの条件を一通りご覧になっては如何でしょうか。

 実用上重要で、しかもここに含まれていないのは、f(x)を超関数として扱う場合だけ(a.e.では話にならない。δ(x)=0 a.e. ですからね。)のように思われます。たとえば関数値が無限大に吹っ飛んでいる特異点を含めてきちんと扱いたければ、((sin x)^(-2)の例で示したように)その関数を超関数として定義しなおす必要が出てきます。
 そして実用的な超関数のフーリエ解析は、「ふるい方式」が最も便利だと考えています。つまり、フーリエ級数或いはフーリエ変換を使って超関数を定義することで、超関数をフーリエ変換したものが普通の関数として扱える、そういう超関数だけに話を限ってしまう。そうしても、大抵の応用には十分です。この方向での易しい本としては、MJライトヒル「フーリエ解析と超関数」(ダイヤモンド社)(絶版)を知っています。

 ご質問の目的が、反転可能条件の証明の理解にあるのか、それとも応用にあるのか、がどうもはっきりしませんでした。コメントを見る限りどうやら応用の方らしい、とあたりをつけたのですが…
 ごく普通の応用では区分的C1級で十分だろうから、緩い条件を追求している易しい本、ってことになるとなかなか見つからないんじゃないでしょうか。関数解析の基礎が一通り要求されますしね。

 ご質問では、xでf(x)が不連続のとき、(f(x+0)+f(x-0))/2に収束するのを「元に戻った」うちに含めていらっしゃるように読め...続きを読む

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。


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