「区分的に連続」と「区分的に滑らか」の概念について

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質問者：NoNoYeah
質問日時：2008/04/06 00:09
回答数：2件

フーリエ級数について勉強しているのですが、
「区分的に連続」と「区分的に滑らか」の理解が非常に曖昧です。

(1)
「区分的に連続」な関数の私のイメージは
周期の変わり目で不連続であってもいいけど、その不連続点の前後で発散していない関数、
なのですが、どこか不十分でしょうか？

(2)
「区分的に滑らか」な関数とは、
「その関数が区分的に連続、かつ１階導関数が区分的に連続」な関数とテキストでは説明されているため、
「区分的に滑らか」ならば「区分的に連続」である、と理解しているのですが、
これは正しいでしょうか？

よろしくお願いします。

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No.2ベストアンサー

回答者： arrysthmia
回答日時：2008/04/07 00:38

(1) 「区分的に連続」の定義に、文献ごとのブレはないのか？

が少々不安な気はします。私の知っている定義は、
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/li …
のようなモノです。

「その不連続点の前後で発散していない関数」とは、
リンク先の条件２のことを言わんとしているようです。
この流儀では、ただ有限個の除外点以外で連続なだけではない
のです。フーリエ級数を扱うときには、この意味での
「区分的に連続」な関数が登場しますね。

(2) 「区分的に滑らか」の方は、その説明ではマズイ
ような気もします。「滑らか」も、文脈ごとにブレのある用語ですが、
概ね「任意階微分可能であること」を指すようです。
複素関数なら、１階微分可能と任意階微分可能は同じことですが、
「区分的に滑らか」と言うときには、実関数を考えていることが
多いように思います。実関数の意味では、１階微分可能な関数が
任意階微分可能とは限りません。

ただし、フーリエ級数を扱うときには、
「区分的に連続、かつ１階導関数が区分的に連続」な関数が
登場するので、ソレを「区分的に滑らか」と呼んでしまうような
流儀があるのかも知れません。

どうなんでしょうね。

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この回答へのお礼

ありがとうございました！

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お礼日時：2008/04/20 12:36

No.1

回答者： kabaokaba
回答日時：2008/04/06 11:08

それぞれの「具体例」を作れますか？

「区分的に連続」
区間内に有限個の点があってそれらの点だけで連続ではない
つまり
発散は関係ありません．
例：
f(x) = -1 (x<0)
= 0 (x=0)
= 1 (x>1)
いわゆる「符号関数」の類です．
x=0だけで連続ではないので区分的に連続です．

例：y=1/x x=0で定義されていないが
それ以外では連続

「区分的に滑らか」
例：y=|x|
x=0で微分可能ではなく，他では微分可能
要は「折れ線」が代表的なもの

- 0
- 件

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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
理解が深まりました。

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お礼日時：2008/04/06 23:13

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＞区分的に連続な関数f(x)が存在するとき導関数f'(x)が区分的連続ではない関数というのはありますか?

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ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
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ような点のことです。
Ｘが距離空間なら、これは
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するとＡの集積点（の集合）は
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例（２）Ｘを２次元ユークリッド空間として
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　ごく普通の応用では区分的C1級で十分だろうから、緩い条件を追求している易しい本、ってことになるとなかなか見つからないんじゃないでしょうか。関数解析の基礎が一通り要求されますしね。

　ご質問では、xでf(x)が不連続のとき、(f(x+0)+f(x-0))/2に収束するのを「元に戻った」うちに含めていらっしゃるように読めて、するとa.e.の意味で反転可能ならそれで構わないと仰っているようにも受け取れます。そういう意味で良いのならDiniの条件を持ち出すまでもない。
　たとえば「数学ハンドブック」(森北出版）では、
　　Dirichletの条件：
　　(1) １周期分の区間を有限個の区間に分け、各区間内でf(x)が連続かつ単調であるようにできる。
　　(2) f(x)の不連続点tに於いては、f(t+0)とf(t-0)が存在する。
　　を共に満たすとき、フーリエ級数は
　　xでf(x)が連続のとき f(x)に、
　　xでf(x)が不連続のとき、(f(x+0)+f(x-0))/2に
　　収束する。
という判別法だけが取り上げられています。これは先刻ご承知の条件だろうと思うのですが、特にへんてこな関数を相手にしない限り、測度零の集合を無視してa.e.の意味での反転可能性を問うのなら、これでたいがい間に合う。（つまり予め、値が飛んでいるところを、両側の極限値で埋めて連続・単調にしておけば良い。）

　この先を追求するとなると、関数のいろんな分類を細かく調べていく必要があり、どんどん話が難しくなる。一方で、実用性のない数学には興味なし、と仰っているので、バランスを量りかねています。
　まずは「数学辞典」（岩波）を当たって、Fourier級数の項で、Jordanの条件、Dirichletの条件、Diniの条件、Lebesgueの条件、Dini-Lipschitzの条件を一通りご覧になっては如何でしょうか。

　実用上重要で、しかもここに含まれていないのは、f(x)を超関数として扱う場合だけ(a.e.では話にならない。δ(x)=0 a.e. ですからね。）のように思われます。たとえば関数値が無限大に吹っ飛んでいる特異点を含めてきちんと扱いたければ、（(sin x)^(-2)の例で示したように）その関数を超関数として定義しなおす必要が出てきます。
　そして実用的な超関数のフーリエ解析は、「ふるい方式」が最も便利だと考えています。つまり、フーリエ級数或いはフーリエ変換を使って超関数を定義することで、超関数をフーリエ変換したものが普通の関数として扱える、そういう超関数だけに話を限ってしまう。そうしても、大抵の応用には十分です。この方向での易しい本としては、MJライトヒル「フーリエ解析と超関数」（ダイヤモンド社）（絶版）を知っています。

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Aベストアンサー

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となります。

つまり、
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＝{1/(-2+1)}*x^(-2+1)＋Ｃ
＝－x^(-1)＋Ｃ
＝－１／ｘ＋Ｃ

です。